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identité du mois de Mai 2026

Posté le : vendredi 1 mai 2026 par Vincent Thill

parcours maths 54

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de Janvier 2022  »

Remarque : Plusieurs égalités de ce parcours n° 54 vont se retrouver dans

la présentation qui va suivre .

__________________________________________________

( a + c )( a² – c² ) = ( b + d )( b² – d² )  avec

a = 16x + 20 – x²   ;  b = 8x + 80 – 4x²

c = – 20 + 16x + x²  ;  d = – 80 + 8x + 4x²

exemple    x = 4

( 68 + 60 )( 68² – 60² ) = ( 48 + 16 )( 48² – 16² )

exemple    x = 5

( 75 + 85 )( 75² – 85² ) = ( 20 + 60 )( 20² – 60² )

Autre paramétrage

( a + c )( a² – c² ) = ( b + d )( b² – d² )    avec

a = 13x + 8y + 13z + 6t    ;    b = 10x + 4y + 10z + 3t

c = 11x + 8y + 11z + 6t     ;    d = 2x + 4y + 2z + 3t

exemple avec des nombres premiers entre eux

x = 2  ;  y = 3  ;  z = 5  et  t = 7  d’où  a = 157  ;  b = 103  ;  c = 143  ;  d = 47

( 157 + 143 )( 157² – 143² ) = ( 103 + 47 )( 103² – 47² )

ou encore

( a + c )( a² – c² ) = ( b + d )( b² – d² )   avec

a = 15x + 8y + 15z + 6t    ;    b = 6x – 4y + 6z – 3t

c = 9x + 8y + 9z + 6t    ;    d = – 18x – 4y – 18z – 3t    exemple

x = 2  ;  y = 5  ;  z = 3  ;  t = 7    d’où  a = 157  ;  b = – 11  ;  c = 127  ;  d = – 131

( 157 + 127 )( 157² – 127² ) = ( 131 + 11 )( 131² – 11² )

 

Une variante à cette équation en posant  b  et  d  deux carrés parfaits

(a+c)(a^2-c^2)=(b+d)(b^2-d^2)

( 36 + 32 )( 36² – 32² ) = ( 25 + 9 )( 25² – 9² )

( 44 + 36)( 44² – 36² ) = ( 36 + 4 )( 36² – 4² )

( 56 + 44 )( 56² – 44² ) = ( 49 + 1 )( 49² – 1 )

( 72 + 56)( 72² – 56² ) = ( 64 + 0 )( 64² – 0 )

( 92 + 72 )( 92² – 72² ) = ( 81 + 1 ) )( 81² – 1 )

( 116 + 92 )( 116² – 92² ) = ( 100 + 4 )( 100² – 4² )

( 144 + 116 )( 144² – 116² ) = ( 121 + 9 )( 121² – 9² )

( 176 + 144 )( 176² – 144² ) = ( 144 + 16 )( 144² – 16² )

( 212 + 176 )( 212² – 176² ) = ( 169 + 25 )( 169² – 25² )

etc …

Remarque :  ( a + c ) = 2( b + d )  et  \sqrt{d}\ = \sqrt{b}\ – 8

Dans l’ exemple n° 3  ,    7 – 8 = – 1  et  ( – 1 )² = 1

D’où   a = 4b – 32\sqrt{b}\ + 128 – c

Nous allons utiliser la formule des nombres triangulaires t=\frac{n(n+1)}{2}\

56 = 56 + 12n + 4t    avec    n = 0   ;   72 = 56 + 12n + 4t    avec    n = 1

92 = 56 + 12n + 4t    avec    n = 2   ;   116 = 56 + 12n + 4t    avec   n = 3

144 = 56 + 12n + 4t   avec   n = 4   ;   176 = 56 + 12n + 4t    avec  n = 5

212 = 56 + 12n + 4t   avec   n = 6    etc …

4t = 2( n² + n )  d’où  56 = 56 + 14n +2n²  et généralisation après simplification

[(2n^2+18n+72)+(2n^2+14n+56)][(2n^2+18n+72)^2-(2n^2+14n+56)^2] =

[(8+n)^2+n^2][(8+n)^4-n^4]  avec  n  entier relatif ou nul

S_n = ( 16, 20, 24, 28, 32, 36, … )

T_n = ( 56, 72, 92, 116, 144, 176, … )

V_n = ( 20, 24, 28, 32, 36, 40, … )

U_n = ( 72, 92, 116, 144, 176, 212, … )

T_{(n+1)}=T_n+S_n  et  U_{(n+1)}=U_n+V_n

 

(a+c)(a^2-c^2)=(b^2+d^2)(b^4-d^4)

a = 2k² + 18k + 4k( n – 1 ) + U_n

c = 2k² + 14k + 4k( n – 1 ) + T_n

b = 8 + k + n – 1    et    d = k + n – 1

 

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