identité du mois de Juillet 2024

Posté le : lundi 1 juillet 2024 par Vincent Thill

parcours maths 37

Attention dans ce parcours, vérifier si  A > B  ou  A < B

pour l’utilisation de ce dessin se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de janvier 2022 »

__________________________________

2^9-2^6-2^3+1=(7^2)(2^3+1) ;

3^9-3^6-3^3+1=(26^2)(3^3+1) ;

4^9-4^6-4^3+1=(63^2)(4^3+1) ;

5^9-5^6-5^3-1=(124^2)(5^3+1) ;

6^9-6^6-6^3+1=(215^2)(6^3+1) ;

En fait, on a la relation suivante :

x^9-x^6-x^3+1=(x^3+1)(x^3-1)^2

On a également le système suivant :

x^4-x-b^2+a^2+(x)(x^3-1)^2=0 ;

x^7-x^4-b^2+a^2=0 ;

x^{(10)}-x^7-b^2+a^2-(x^4)(x^3-1)^2=0

 

Plusieurs exemples :

6^4-6-b^2+a^2+(6)(215)^2=0

11 couples de solutions  ( a, b )  entre  0  et  1000

( 12, 528 ) ; ( 109, 539 ) ; ( 207, 567 ) ; ( 233, 577 ) ; ( 268, 592 ) ; ( 381, 651 )

( 411, 669 ) ; ( 537, 753 ) ; ( 684, 864 ) ; ( 724, 896 ) ; ( 779, 941 )

 

4^4-4-b^2+a^2+(4)(63)^2=0

17 couples de solutions  ( a, b )  entre  0  et  1000

( 1, 127 ) ; ( 16, 128 ) ; ( 36, 132 ) ; ( 54, 138 ) ; ( 76, 148 ) ; ( 94, 158 )

( 116, 172 ) ; ( 144, 192 ) ; ( 171, 213 ) ; ( 206, 242 ) ; ( 236, 268 ) ; ( 274, 302 )

( 324, 348 ) ;( 439, 457 ) ; ( 496, 512 ) ; ( 569, 583 ) ; ( 666, 678 )

 

2^4-2-b^2+a^2+(2)(7^2)=0

3 couples de solutions  ( a, b )  entre  0  et  1000

( 3, 11 ) ; ( 12, 16 ) ; ( 27, 29 )

2^4-2-11^2+3^2=-(2)(7)^2 ;

2^7-2^4-11^2+3^2=0 ;

2^{10}-2^7-11^2+3^2=(2)^4(7)^2 = 784

 

2^{13}-2^{10}-11^2+3^2=(9)(784) ;

2^{16}-2^{13}-11^2+3^2=(73)(784) ;

2^{19}-2^{16}-11^2+3^2=(585)(784) ;

2^{22}-2^{19}-11^2+3^2=(4681)(784) ;

2^{25}-2^{22}-11^2+3^2=(37449)(784) ;

Soit la suite ( 9, 73, 585, 4681, 37449, … )  définie par

u_{(n+1)}=8u_n+1 avec u_1=9=2^3+1

généralisation

2^{(10+3n)}-2^{(7+3n)}-11^2+3^2=(u_n)(784)

Remarque : On a utilisé le couple  ( a, b )  =  ( 3, 11 ), mais on a les mêmes résultats

avec les couples  ( a, b ) = ( 12, 16 ) ou ( 27, 29 ) puisque

3² + 16² = 11² + 12²  ;  3² + 29² = 11² + 27²  et  12² + 29² = 16² + 27²

Autre exemple :

4^{13}-4^{10}-457^2+439^2=(65)(1016064) ;

4^{16}-4^{13}-457^2+439^2=(4161)(1016064) ;

4^{19}-4^{16}-457^2+439^2=(266305)(1016064) ;

4^{22}-4^{19}-457^2+439^2=(17043521)(1016064) ;

4^{25}-4^{22}-457^2+439^2=(1090785345)(1016064) ;

Soit la suite ( 65, 4161, 266305, 17043521, 1090785345, … ) définie par

u_{(n+1)}=(64)u_n+1  avec  u_1=65=4^3+1

généralisation :

4^{(10+3n)}-4^{(7+3n)}-457^2+439^2=(u_n)(1016064)

Intéressons nous à présent avec cet exemple :

5^7-5^4-b^2+a^2=0  avec les couples  ( a, b )

( 30, 280 ) ; ( 594, 656 ) ; ( 750, 800 ) ; ( 3870, 3880 ) ; ( 19374, 19376 )

En observant cette liste, on note ceci :

( 30 )( 5 ) + 600 = 750    ;    ( 280 )( 5 ) – 600 = 800

( 750 )( 5 ) + 120 = 3870    ;    ( 800 )( 5 ) – 120 = 3880

( 3870 )( 5 ) + 24 = 19374    ;    ( 3880 )( 5 ) – 24 = 19376

Ce qui nous permet d’obtenir cela :

5^6-5^3-484376^2+484374^2+(5)(620^2)=0 ;

5^9-5^6-484376^2+484374^2=0 ;

5^{(12)}-5^9-484376^2+484374^2-(5^4)(620^2)=0

et de poursuivre

5^{(15)}-5^{(12)}-484376^2+484374^2=(126)(240250000) ;

5^{(18)}-5^{(15)}-484376^2+484374^2=(15751)(24250000) ;

5^{(21)}-5^{(18)}-484376^2+484374^2=(1968876)(240250000) ;

5^{(24)}-5^{(21)}-484376^2+484374^2=(246109501)(240250000 ;

5^{(27)}-5^{(24)}-484376^2+484374^2=(30763687626)(240250000)

Soit la suite ( 126, 15751, 1968876, 246109501, 30763687626, … ) définie par

u_{(n+1)}=(125)u_n+1   avec   u_1=126=5^3+1

généralisation

5^{(12+3n)}-5^{(9+3n)}-484376^2+484374^2=(u_n)(240250000)

Remarque, on obtient la même suite de cette façon :

5^4-5-b^2+a^2+(5)(124^2)=0 ;

5^7-5^4-b^2+a^2=0 ;

5^{(10)}-5^7-b^2+a^2-(5^4)(124^2)=0

 

5^{(13)}-5^{(10)}-656^2+594^2=(126)(9610000) ;

5^{(16)}-5^{(13)}-656^2+594^2=(15751)(9610000) ;

5^{(19)}-5^{(16)}-656^2+594^2=(1968876)(9610000) ;

5^{(22)}-5^{(19)}-656^2+594^2=(246109501)(9610000) ;

5^{(25)}-5^{(22)}-656^2+594^2=(30763687626)(9610000) ;

généralisation

5^{(10+3n)}-5^{(7+3n)}-656^2+594^2=(u_n)(9610000) .

Tags:

Les commentaires sont fermés