Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter à » identité du mois de janvier 2022 »
_________________________________
Soit l’équation suivante : xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 6
Wendy Appleby propose une infinité de solutions en entiers x, y, z avec pour
tout x, la relation suivante : y = x + 3 et z = x + 1
On peut rajouter également ceci: y = x + 3 et z = x + 2
On peut élargir ce problème de cette façon:
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 20
avec y = x + 5 et z = x + 4 ou z = x + 1
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 42
avec y = x + 7 et z = x + 6 ou z = x + 1
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 72
avec y = x + 9 et z = x + 8 ou z = x + 1
…
généralisation
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = ( 2n )( 2n + 1 )
avec y = x + 2n + 1 et z = x + 2n ou z = x + 1
Remarque: Quelque soit » n » la solution z = x + 1 intervient comme une constante
Reprenons l’égalité du départ: xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 6 ( E )
avec y = x + 3 et z = x + 1 ( 1 )
puis z = x + 1 et y = x – 2 ( 2 )
puis y = x – 2 et z = x – 3 ( 3 )
puis z = x – 3 et y = x – 1 ( 4 )
puis y = x – 1 et z = x + 2 ( 5 )
puis z = x + 2 et y = x + 3 ( 6 )
On revient ensuite sur l’exemple ( 1 ) d’où un cycle de 6.
Les solutions ( y, z ) énoncées dans ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) résolvent bien
l’équation ( E )
Avec la généralisation
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = ( 2n )( 2n + 1 )
avec y = x + 2n + 1 et z = x + 1 ( 1 )
puis z = x + 1 et y = x – 2n ( 2 )
puis y = x – 2n et z = x – 2n – 1 ( 3 )
puis z = x – 2n – 1 et y = x – 1 ( 4 )
puis y = x – 1 et z = x + 2n ( 5 )
puis z = x + 2n et y = x + 2n + 1 ( 6 )
On revient ensuite sur l’exemple ( 1 ), d’où un cycle de 6.
Remarque : Quelque soit » n » la solution y = x – 1 intervient comme une constante
_______________________________
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = k
avec y = x + 2 et z = x + 1 alors k = 2
y = x + 6 et z = x + 4 ou z = x + 2 alors k = 48
y = x + 12 et z = x + 9 ou z = x + 3 alors k = 324
y = x + 20 et z = x + 16 ou z = x + 4 alors k = 1280
…
généralisation
avec y = x + n + n² et z = x + n² ou z = x + n
Reprenons l’exemple suivant :
xy( x – y ) + yz( y – z ) + zx( z – x ) = 48
avec y = x + 6 et z = x + 2 ( 1 )
puis z = x + 2 et y = x – 4 ( 2 )
puis y = x – 4 et z = x – 6 ( 3 )
puis z = x – 6 et y = x – 2 ( 4 )
puis y = x – 2 et z = x + 4 ( 5 )
puis z = x + 4 et y = x + 6 ( 6 )
On revient ensuite sur l’exemple ( 1 ) d’où un cycle de 6
Avec la généralisation
avec y = x + n + n² et z = x + n ( 1 )
puis z = x + n et y = x – n² ( 2 )
puis y = x – n² et z = x – n – n² ( 3 )
puis z = x – n – n² et y = x – n ( 4 )
puis y = x – n et z = x + n² ( 5 )
puis z = x + n² et y = x + n + n² ( 6 )
On revient ensuite sur l’exemple ( 1 ) d’où un cycle de 6
Autres possibilités avec 5 paramètres ( x, y, z, t, n )
avec y = x + tn + t et z = x + tn ou z = x + t
avec y = x + 2n + 2t et z = x + t + n
ou z = x + t + n et y = x – t – n
