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identité du mois d’Octobre 2023

Posté le : dimanche 1 octobre 2023 par Vincent Thill

parcours maths 26

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées

dans  » identité du mois de Janvier 2022  »

_____________________________________

Une fois n’est pas coutume, il n’y aura que des exemples numériques

reprenant le thème du parcours ci-dessus.

14^4+56^4+95^4=22^4+40^4+97^4               ( 1 )

34^4+74^4+95^4=22^4+70^4+97^4              ( 2 )

Par addition membre à membre  ( 1 ) + ( 2 ), on obtient

14^4+56^4+70^4=34^4+40^4+74^4

______________________________

40^4+74^4+42^4=24^4+58^4+70^4              ( 1 )

58^4+15^4+112^4=42^4+40^4+113^4            ( 2 )

Par addition membre à membre    ( 1 ) + ( 2 ), on obtient

74^4+15^4+112^4=70^4+24^4+113^4

_______________________________________

14^4+42^4+56^4=24^4+34^4+58^4               ( 1 )

40^4+74^4+42^4=24^4+58^4+70^4              ( 2 )

Par addition membre à membre   ( 1 ) + ( 2 ),  on obtient

34^4+40^4+74^4=14^4+56^4+70^4

__________________________________

36^4+72^4+113^4=49^4+84^4+108^4            ( 1 )

252^4+288^4+113^4=49^4+84^4+324^4       ( 2 )

Par addition membre à membre  ( 1 ) + ( 2 ),  on obtient

36^4+72^4+324^4=108^4+252^4+288^4

____________________________________

(3)^4+(25)^4+(38)^4=(7)^4+(20)^4+(39)^4      ( 1 )

(3-x)^4+(25+x)^4+(38+x)^4=(7+x)^4+(20+x)^4+(39+x)^4

Lorsque  x = 39,  on obtient

(-36)^4+(64)^4+(77)^4=(46)^4+(59)^4+(78)^4       ( 2 )

(-36-y)^4+(64+y)^4+(77+y)^4=(46+y)^4+(59+y)^4+(78+y)^4

Lorsque   y = – 51,  on obtient

(13)^4+(15)^4+(26)^4=(-5)^4+(8)^4+(27)^4       ( 3 )

(13+z)^4+(15-z)^4+(26+z)^4=(-5+z)^4+(8+z)^4+(27+z)^4

Lorsque    z = 12,  on obtient

(3)^4+(25)^4+(38)^4=(7)^4+(20)^4+(39)^4     ( 1 )

Soit un cycle de 3 ou suite périodique de période 3 .

Remarque :

l’équation ( 1 )  possède la particularité suivante

(3)^4+(25)^4+(38)^4=(7)^4+(20)^4+(39)^4

avec    3 + 25 + 38 = 7 + 20 + 39 = 66

Il en est de même pour ces autres équations

(-44)^4+(22)^4+(61)^4=(-32)^4+(7)^4+(64)^4

avec    – 44 + 22 + 61 = – 32 + 7 + 64 = 39

(-15)^4+(13)^4+(26)^4=(5)^4+(-8)^4+(27)^4

avec    26 + 13 – 15 = 27 + 5 – 8 = 24

(-22)^4+(62)^4+(101)^4=(38)^4+(104)^4+(-1)^4

avec    101 + 62 – 22 = 38 + 104 – 1 = 141

___________________________________

Soit l’expression   ( 4800 )² + ( 880 )² + ( 2340 )² + ( 429 )²

avec    ( 4800 )² + ( 880 )² = ( 4880 )²  et  ( 2340 )² + ( 429 )² = ( 2379 )²

Cette expression peut s’écrire aussi

( 4800 )² + ( 2340 )² + ( 880 )² + ( 429 )²

avec   ( 4800 )² + ( 2340 )² = ( 5340 )²  et  ( 880 )² + ( 429 )² = ( 979 )²

On procède ainsi :

[( 880 )( 2379 )]² + [( 880 )( 4880 )]² + [( 4800 )( 5340 )]² + [( 4800 )( 979 )]²

On divise ces 4 nombres par leur PGCD qui est : 80 , on obtient

( 26169 )² + ( 53680 )² + ( 320400 )² + ( 58740 )²

avec ( 26169 )² + ( 53680 )² = ( 59719 )²  et  ( 320400 )² + ( 58740 )² = ( 325740 )²

On procède ainsi :

[( 53680 )( 59719 )]² + [( 53680 )( 325740 )]² +

[( 26169 )(320400 )]² + [( 26169 )( 58740 )]²

On divise ces 4 nombres par leur PGCD qui est : 1194380 , on obtient

( 2684 )²  + ( 14640 )² + ( 7020 )² + ( 1287 )²

avec   ( 2684 )² + ( 14640 )² = ( 14884 )²  et  ( 7020 )² + ( 1287 )² = ( 7137 )²

On procède ainsi :

[( 14640 )²]² + [( 14640 )( 2684 )]² + [( 14640 )( 7137 )]² + [( 2684 )( 7137 )]²

On divise ces 4 nombres par leur PGCD qui est : 44652 , on obtient l’expression du départ

( 4800 )² + ( 880 )² ( 2340 )² + ( 429 )²

Ceci constitue un cycle de 3 ou une suite périodique de période 3 .

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