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parcours maths 14

Dans le parcours proposé ce mois-ci, il est question de l’équation :

  avec ( a, b, c, d ) entiers relatifs.

Intéressons-nous à cette équation avec cette fois-ci ( a, b, c, d ) entiers naturels.

, on utilisera la méthode suivante:

Introduction d’un paramètre supplémentaire noté  » x  » de la façon suivante :

Lorsque  x = ( 134 )/( 3 ), on obtient alors

On réitère ensuite le procédé de façon algorithmique pour obtenir d’autres égalités du même type.

=

Lorsque  x = ( 1214 )/( 3 ), on obtient

=

Lorsque  x = ( 10934 )/( 3 ), on obtient

=

Lorsque  x = ( 98414 )/( 3 ), on obtient

=

Lorsque  x = ( 885734 )/( 3 ), on obtient

=

=

Lorsque  x = ( 7971614 )/( 3 )

etc …

Le paramètre  » x   » intervient sous forme de fraction, après simplification par  3

x  prend la suite ( 134, 1214, 10934, 98414, 885734, 7971614, … )

x  suit la progression : avec

Reprenons les 6 exemples numériques notés  au rang ( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ).

les quadruplets ( a, b, c, d ) vérifient tous les relations suivantes

( a – b ) = 2( c – d )  d’où  ( c² + cd + d² )/( a² + ab + b² ) = 4, et  avec  n > 0

  et    d’où 

  et enfin ( 5a + 3b + 4 = 4c ).

Michel Marcus a publié la suite A352244 sur oeis.org ( https://oeis.org/A352244 )

Les premiers termes de cette suite sont les suivants :

( 57456, 80752, 124852, 229957, 355072, 366471, 630667, … )

Ils correspondent respectivement aux égalités suivantes :

;

;

;

etc …

Remarque : toutes ces égalités ne vérifient pas forcément les relations citées plus haut.

Si on note  57456 au rang 1, 80752 au rang 2, 124852 au rang 3, … ), alors

arrive au rang 80