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identité du mois de Janvier 2026

Posté le : jeudi 1 janvier 2026 par Vincent Thill

Pour commencer la nouvelle année, à la place d’un parcours de jeux mathématique

voici une petite devinette mathématique géographique :

Pourquoi les départements de l’Aube et de l’Yonne sont côte à côte ?

réponse en bas de page .

_______________________________________________________

Comment est-on passé de 2025 à 2026 ?

Puisque  2025  est la somme des  9  premiers cubes

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3 = 2025,

il suffit de rajouter un cube 1^3 pour avoir  2026

Par contre la somme de tous les nombres de 1 à 2026 élevés au cube

= 4216250329201

qui est un carré égal à [(\frac{2026}{2})(2026+1)]^2\

A propos des cubes, on va regarder l’équation :

a^3+b^3=c^8  de façon algorithmique

Commençons par a^3+b^3=c^2

(3n^3+6n^2-n)^3+(6n^2+n-3n^3)^3=36n^4(3n^2+1)^2

exemple  n = 2  ;

[(2)(23)]^3+(2)^3=[(2^3)(3)(13)]^2

Soit  (46)^3+(2)^3=(312)^2

[(3n^3+6n^2-n)^4+(3n^3+6n^2-n)(6n^2+n-3n^3)^3]^3 +

[6n^2+n-3n^3)(3n^3+6n^2-n)^3+(6n^2+n-3n^3)^4]^3 =

(2^8)(3^8)(16n^{16})(3n^2+1)^8

exemple  n = 2  ;

[(2^7)(3^2)(13^2)(23)]^3+[(2^7)(3^2)(13^2)]^3=[(2^3)(3)(13)]^8

Soit  (4477824)^3+(194688)^3=(312)^8

p = (3n^3+6n^2-n)^4+(3n^3+6n^2-n)(6n^2+n-3n^3)^3

q = (6n^2+n-3n^3)(3n^3+6n^2-n)^3+(6n^2+n-3n^3)^4

 

(p^4+pq^3)^3+(q^4+qp^3)^3=(2^{32})(3^{32})(n^{64})(3n^2+1)^{32}

 

Reprenons l’équation a^3+b^3=c^8 avec n = 2

 

[(2^7)(39^2)(23)]^3+[(2^7)(39^2)]^3=[(2^3)(39)]^8

 

[(2^{31})(39^{10})(23)]^3+[(2^{31})(39^{10})]^3=[(2^3)(39)]^{32}

 

[(2^{127})(39^{42})(23)]^3+[(2^{127})(39^{42})]^3=[(2^3)(39)]^{128}

 

[(2^{511})(39^{170})(23)]^3+[(2^{511})(39^{170})]^3=[(2^3)(39)]^{512}

 

[(2^{2047})(39^{682})(23)]^3+[(2^{2047})(39^{682})]^3=[(2^3)(39)]^{2048}

 

etc …

Soit la suite u_n = ( 8, 32, 128, 512, 2048, … ) définie par u_{n+1}=4u_n avec u_1 = 8

u_n est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 8 .

Soit la suite v_n = ( 7, 31, 127, 511, 2047, … ) définie par v_n=u_n-1

Soit la suite w_n =( 2, 10, 42, 170, 682, … ) définie par w_{n+1}=w_n+u_n avec w_1 =2

___________________________________________

réponse à la devinette en haut de la page .

N’importe quel nombre entier naturel non nul  » N  » à  3  chiffres  à la propriété suivante :

On procède ainsi    752 – 257 = 495  et  495 + 594 = 1089

981 – 189 = 792  et  792 + 297 = 1089

453 – 354 = 099  et  099 + 990 = 1089

etc …

On trouve toujours  1089  c’est à dire  AubeYonne

En fait il faut prendre  » N  »  et  » N  » inversé et obtenir une différence positive,

ne pas prendre  » N  » en nombre miroir ou palindrome, exemple  121 .

 

 

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