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identité du mois de Mai 2025

Posté le : jeudi 1 mai 2025 par Vincent Thill

parcours maths 46

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de janvier 2022  » .

__________________________________________________

Nous examinerons plusieurs systèmes paramétrés d’équations avec 5 inconnues de la forme :

( t )² + ( z )( y ) = ( z )( u ) + ( y )²            ( 1 )

( t )² + ( z )( x ) = ( z )( u ) + ( x )²            ( 2 )

( x )² + ( z )( y ) = ( z )( x ) + ( y )²            ( 3 )

Remarque : L’égalité  ( 3 )  est obtenue par addition membre à membre des égalités  ( 1 )  et  ( 2 ),

par la suite nous utiliserons que les égalités  ( 1 )  et  ( 2 ) .

( a² + 3a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) = ( 2a + 3a² )( a² + 2a + 2 ) + ( a² – 1 )²

( a² + 3a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( a² + 2a + 2 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 41 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 37 ) + ( 24 )²

( 41 )² + ( 85 )( 61 ) = ( 85 )( 37 ) + ( 61 )²

 

( 5a² + a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) = ( 2a + 3a² )( 9a² – 2a – 2 ) + ( a² – 1 )²

( 5a² + a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 9a² – 2a – 2 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 129 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 213 ) + ( 24 )²

( 129 )² + ( 85 )( 61 ) = ( 85 )( 213 ) + ( 61 )²

 

( 7 a² + 7a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) = ( 2a + 3a² )( 17a² + 22a + 6 ) + ( a² – 1 )²

( 7a² + 7a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 17a² + 22a + 6 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 211 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 541 ) + ( 24 )²

( 211 )² + ( 85 )( 61 ) = ( 85 )( 541 ) + ( 61 )²

 

( 11a² + 5a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 )=( 2a + 3a² )( 41a² + 10a – 6 ) + ( a² – 1 )²

( 11a² + 5a – 1 )² + ( 2a+ 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 41a² + 10a – 6 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 299 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 1069 ) + ( 24 )²

( 299 )² + ( 85 )( 61 ) = ( 85 )( 1069 ) + ( 61 )²

 

( 13a² + 11a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) =

( 2a + 3a² )( 57a² + 58a + 10 ) + ( a² – 1 )²

( 13a² + 11a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 57a² + 58a + 10 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 381 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 1725 ) + ( 24 )²

( 381 )² + ( 85 )( 61 ) = ( 85 )( 1725 ) + ( 61 )²

 

( 17a² + 9a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) =

( 2a + 3a² )( 97a² + 38a – 10 ) + ( a² – 1 )²

( 17a² + 9a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 97a² +38a – 10 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 5 ,

( 469 )² + ( 85 )( 24 ) = ( 85 )( 2605 ) + ( 24 )²

( 469 )² + ( 85 )( 61 ) = ( ( 85 )( 2605 ) + ( 61 )²

 

( 19a² + 15a + 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) =

( 2a + 3a² )( 121a² + 110a + 14 ) + ( a² – 1 )²

( 19a² + 15a + 1 )² + ( 2a + 3a²)( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 121a² + 110a + 14 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

 

( 23a² + 13a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( a² – 1 ) =

( 2a + 3a² )( 177a² + 82a – 14 ) + ( a² – 1 )²

( 23a² + 13a – 1 )² + ( 2a + 3a² )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 2a + 3a² )( 177a² + 82a – 14 ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

Reprenons les exemples numériques

( 41 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 37 + ( 2 ) ( 88 )] + n²    avec  n = 24  ou  61

( 129 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 213 + ( 4 )( 88 )] + n²    avec  n = 13  ou  72

( 211 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 541 + ( 6 )( 88 )] + n²    avec  n = 24  ou  61

( 299 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 1069 + ( 8 )( 88 )] + n²  avec  n = 13  ou  72

( 381 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 1725 + ( 10 )( 88 )] + n²  avec  n = 24  ou  61

( 469 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 2605 + ( 12 )( 88 )] + n²  avec  n = 13  ou  72

( 551 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 3589 + ( 14 )( 88 )] + n²  avec  n =  24  ou  61

( 639 + 88 )² + ( 85 )n = ( 85 )[ 4821 + ( 16 )( 88 )] + n²  avec  n =  13  ou  72

etc …

La construction de cette série peut se réaliser de cette façon :

( 129 – 41 ) = ( 299 – 211 ) = ( 469 – 381 ) = ( 639 – 551 ) = 88, etc … )

( 211 – 129 ) = ( 381 – 299 ) = ( 551 – 469 ) = ( 721 – 639 ) = 82  etc … )

Soit la suite

u_n = ( 37, 213, 541, 1069, 1725, 2605, 3589, 4821, … )

On définit alors la suite s_n tel que s_n=u_{(n+1)}-u_n avec u_1 = 37

s_n = ( 176, 328, 528, 656, 880, 984, 1232, 1312, … )

s_n est alors l’addition de 2 suites complémentaires notées v_n et w_n

v_n = ( 176, 528, 880, 1232, … ) définie tel que v_{(n+1)} = ( 88 )( 2 + 4n )

w_n = ( 328, 656, 984, 1312, … ) définie tel que w_{(n+1)} = ( 82 )( 4 + 4n )

Autres paramétrages :

( 6 + 2a )² + ( 16 + 4a – 4a² )( 2a² – 2 ) = ( 16 + 4a – 4a² )( 3a² + a ) + ( 2a² – 2 )²

( 6 + 2a )² + ( 16 + 4a – 4a² )( 18 + 4a – 6a² ) =

( 16 + 4a – 4a² )( 3a² + a )( 18 + 4a – 6a² )²

exemple :  a = 5 ,

( 16 )² + ( – 64 )( 48 ) = ( – 64 )( 80 ) + ( 48 )²

( 16 )² + ( – 64 )( – 112 ) = ( – 64 )( 80 ) + ( – 112 )²

généralisation avec  2  paramètres  a  et  b

( 10a² + 4a – 4 + b )² + ( 8a² + 2a – 5 + b )( 6a² – 6 + b ) =

( 8a² + 2a – 5 + b)( 14a² + 8a – 2 + b ) + ( 6a² – 6 + b )²

( 10a² + 4a – 4 + b )² + ( 8a² + 2a – 5 + b )( 2a² + 2a + 1 ) =

( 8a² + 2a – 5 + b )( 14a² + 8a – 2 + b ) + ( 2a² + 2a + 1 )²

exemple :  a = 2  et b = 3

( 47 )² + ( 34 )( 21 ) = ( 34 )( 73 ) + ( 21 )²

( 47 )² + ( 34 )( 13 ) = ( 34 )( 73 ) + ( 13 )²

 

( 4 + 2a – a² + b )² + ( 5 + 2a – 2a² + b )( a² – 1 ) =

( 5 + 2a – 2a² + b )( 2 + 2a + a² + b ) + ( a² – 1 )²

( 4 + 2a – a² + b )² + ( 5 + 2a – 2a² + b )( 6 + 2a – 3a² + b ) =

( 5 + 2a – 2a² + b )( 2 + 2a + a² + b ) + ( 6 + 2a – 3a² + b )²

exemple :  a = 2  et  b = 3

( 7 )² + ( 4 )( 3 ) = ( 4 )( 13 ) + ( 3 )²

( 7 )² + ( 4 )( 1 ) = ( 4 )( 13 ) + ( 1 )² .

 

 

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