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parcours maths 45

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans  » identité du mois de janvier 2022 « .

Pour ceux qui apprécient les jeux de logique sous forme de grilles, voici un site à consulter :

https://www.nombres-croises.fr

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( 2n + 1 )² – n( n – 1 ) = q²      couples   ( n, q )

( 0, 1 )  ;  ( 1, 3 )  ;  ( 9, 17 )  ;  ( 24, 43 )  ;  ( 136, 237 )  ;  ( 345, 599 )  ; …

= ( 1, 3, 17, 43, 237, 599, … )

     avec   = 1

( 0 + 1 )² – 0( – 1 ) = 1²  ;  ( 1 + 2 )² – 1( 0 ) = 3²  ;  ( 9 + 10 )² – ( 9 )( 8 ) = ( 17 )²

( 24 + 25 )² – ( 24 )( 23 ) = ( 43 )²

( 136 + 137 )² – ( 136 )( 135 ) = ( 237 )²  ;  ( 345 + 346 )² – ( 345 )( 344 ) = ( 599 )²

( 1905 + 1906 )² – ( 1905 )( 1904 ) = ( 3301 )²

( 4816 + 4817 )² – ( 4816 )( 4815 ) = ( 8343 )²

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( 2n + 1 )² – ( n + 2 )² = q²      couples   ( n, q )

( 1, 0 )  ;  ( 2, 3 )  ;  ( 7, 12 )  ;  ( 26, 45 )  ;  ( 97, 168 )  ;  ( 362, 627 )

( 1351, 2340 )  ;  ( 5042, 8733 )

= ( 0, 3, 12, 45, 168, 627, 2340, 8733, … )

   avec  = 0

( 1 + 2 )² – ( 3 )² = 0  ;  ( 2 + 3 )² – ( 4 )² = ( 3 )²  ;  ( 7 + 8 )² – ( 9 )² = ( 12 )²

( 26 + 27 )² – ( 28 )² = ( 45 )²

( 97 + 98 )² – ( 99 )² = ( 168 )²  ;  ( 362 + 363 )² – ( 364 )² = ( 627 )²

( 1351 + 1352 )² – ( 1353 )² = ( 2340 )²  ;  ( 5042 + 5043 )² – ( 5044 )² = ( 8733 )²  …

d’où une famille de triplets pythagoriciens  ( a, b, c )   tel que   a² + b² = c²

( 3, 4, 5 )  ;  ( 9, 12, 15 )  ;  ( 28, 45, 53 )  ;  ( 99, 168, 195 )

( 364, 627, 725 )  ;  ( 1353, 2340, 2703 )

Remarque :

( 9 – 28 )² + ( 12 – 45 )² – ( 15 – 53 )² = 6

( 9 + 28 )² + ( 12 + 45 )² – ( 15 + 53 )² = – 6

( 28 – 99 )² + ( 45 – 168 )² – ( 53 – 195 )² = 6

( 28 + 99 )² + ( 45 + 168 )² – ( 53 + 195 )² = – 6

( 99 – 364 )² + ( 168 – 627 )² – ( 195 – 725)² = 6

( 99 + 364 )² + ( 168 + 627 )² – ( 195 + 725 )² = – 6

( 364 – 1353 )² + ( 627 – 2340 )² – ( 725 – 2703 )² = 6

( 364 + 1353 )² + ( 627 + 2340 )² – ( 725 + 2703 )² = – 6

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( 2n + 1 )² – ( n + 1 )² = q²      couples  ( n, q )

( 2, 4 ) ; ( 32, 56 ) ; ( 450, 780 ) ; ( 6272, 10864 ) ; ( 87362, 151316 ) ; …

= ( 4, 56, 780, 10864, 151316, … )

  avec  = 4

( 2 + 3 )² – ( 3 )² = ( 4 )²  ;  ( 32 + 33 )² – ( 33 )² = ( 56 )²

( 450 + 451 )² – ( 451 )² = ( 780 )²

( 6272 + 6273 )² – ( 6273 )² = ( 10864 )²

( 87362 + 87363 )² – ( 87363 )² = ( 151316 )²

d’où une famille de triplets pythagoriciens  ( a, b, c )   tel que   a² + b² = c²

( 3, 4, 5 )  ;  ( 33, 56, 65 )  ;  ( 451, 780, 901 )  ;  ( 6273, 10864, 12545 )

( 87363, 151316, 174725 )

Remarque :

( 3 – 33 )² + ( 4 – 56 )² – ( 5 – 65 )² = 4

( 3 + 33 )² + ( 4 + 56 )² – ( 5 + 65 )² = – 4

( 33 – 451 )² + ( 56 – 780 )² – ( 65 – 901 )² = 4

( 33 + 451 )² + ( 56 + 780 )² – ( 65 + 901 )² = – 4

( 451 – 6273 )² + ( 780 – 10864 )² – ( 901 – 12545 )² = 4

( 451 + 6273 )² + ( 780 + 10864 )² – ( 901 + 12545 )² = – 4

( 6273 – 87363 )² + ( 10864 – 151316 )² – ( 12545 – 174725 )² = 4

( 6273 + 87363 )² + ( 10864 + 151316 )² – ( 12545 + 174725 )² = – 4

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( 2n + 1 )² – ( n – 1 )( n – 2 ) = q²           couples ( n, q )

( 1, 3 ) ; ( 2, 5 ) ; ( 26, 47 ) ; ( 41, 73 ) ; ( 377, 655 ) ; ( 586, 1017 ) ; ( 5266, 9123 )

( 8177, 14165 ) ; ( 73361, 127067 ) …

= ( 3, 5, 47, 73, 655, 1017, 9123, 14165, 127067, … )

  avec  = 3

( 1 + 2 )² – ( 0 )( – 1 ) = 3²  ;  ( 2 + 3 )² – ( 1 )( 0 ) = 5²

( 26 + 27 )² – ( 25 )( 24 ) = ( 47 )²

( 41 + 42 )² – ( 40 )( 39 ) = ( 73 )² ;  ( 377 + 378 )² – ( 376 )( 375 ) = ( 655 )²

( 586 + 587 )² – ( 585 )( 584 ) = ( 1017 )²