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parcours maths 15

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de janvier 2022  »

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2025 peut s’écrire sous la forme d’une somme de 3 nombres consécutifs

multipliée par une somme de 5 nombres consécutifs :

( 2 + 3 + 4 )( 43 + 44 + 45 + 46 + 47 ) = 2025

( 4 + 5 + 6 )( 25 + 26 + 27 + 28 + 29 ) = 2025

( 8 + 9 + 10 )( 13 + 14 + 15 + 16 + 17 ) = 2025

( 14 + 15 + 16 )( 7 + 8 + 9 + 10 + 11 ) = 2025

( 26 + 27 + 28 )( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ) = 2025

( 44 + 45 + 46 )( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 2025

2040 sera la prochaine année avec la même configuration :

( 1 + 2 + 3 )( 66 + 67 + 68 + 69 + 70 ) = 2040

( 3 + 4 + 5 )( 32 + 33 + 34 + 35 + 36 ) = 2040

( 7 + 8 + 9 )( 15 + 16 + 17 + 18 + 19 ) = 2040

( 16 + 17 + 18 )( 6 + 7 + 8 + 9 + 10 ) = 2040

( 33 + 34 + 35 )( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 2040

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En référence à l’identité du mois précédent, voici une infinité de solutions

à l’équation   ( a + b )² – ( a )( b ) = c²    avec    b = a + 1

( 0 + 1 )² – ( 0 )( 1 ) = ( 1 )²

( 7 + 8 )² – ( 7 )( 8 ) = ( 13 )²

( 104 + 105 )² – ( 104 )( 105 ) = ( 181 )²

( 1455 + 1456 )² – ( 1455 )( 1456 ) = ( 2521 )²

( 20272 + 20273 )² – ( 20272 )( 20273 ) = ( 35113 )²

( 282359 + 282360 )² – ( 282359 )( 282360 ) = ( 489061 )²

( 3932760 + 3932761 )² – ( 3932760 )( 3932761 ) = ( 6811741 )²

etc …

Soit la suite = ( 1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, 6811741, … )

définie par   avec  = 1

également une infinité de solutions à l’équation

( a + b )² + ( a )( b ) = c²   avec   b = a + 1

( 8 + 9 )² + ( 8 )( 9 ) = ( 19 )²

( 152 + 153 )² + ( 152 )( 153 ) = ( 341 )²

( 2736 + 2737 )² + ( 2736 )( 2737 ) = ( 6119 )²

( 49104 + 49105 )² + ( 49104 )( 49105 ) = ( 109801 )²

( 881144 + 881145 )² + ( 881144 )( 881145 ) = ( 1970299 )²

( 15811496 + 15811497 )² + ( 15811496 )( 15811497 ) = ( 35355581 )²

etc …

Soit la suite = ( 19, 341, 6119, 109801, 1970299, 35355581, … )

définie par    avec  = 19

Remarque : Cette équation génère un système d’équations

( a + b )² + ( a )( b ) = ( c )²    avec    b = a + 1

    avec    e = a + b

alors    c² = ( 1 + 5a + 5a² )  et  d = ( 3 + 8a + 5a² )  ou  d = ( – 5a² – 2a )

exemples :  avec   d = ( 3 + 8a + 5a² )

  ;

  ;

…

exemples :  avec   d = ( – 5a² – 2a )

  ;

  ;