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identité du mois de décembre 2024

Posté le : dimanche 1 décembre 2024 par Vincent Thill

parcours maths 42

Attention à la position des inconnues dans ce parcours.

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées

dans   » identité du mois de janvier 2022  »

_______________________________________________________

Pour faire suite à l’identité du mois de novembre 2024, on peut exprimer

le produit de 2 nombres consécutifs sous la forme d’une différence de 2 carrés de cette façon :

( n + n + 1 )² – ( n )( n + 1 ) = q²    couple  ( n, q )  ;  ( 7, 13 )  ;  ( 104, 181 )

( 1455, 2521 )  ;  …

Le couple   ( 7, 13 )   fait parti de la liste suivante :

( 7 + 8 )² – ( 7 )( 8 ) = ( 13 )²

( 9 + 15 )² – ( 9 )( 15 ) = ( 21 )²

( 11 + 24 )² – ( 11 )( 24 ) = ( 31 )²

( 13 + 35 )² – ( 13 )( 35 ) = ( 43 )²

( 15 + 48 )² – ( 15 )( 48 ) = ( 57 )²

( 17 + 63 )² – ( 17 )( 63 ) = ( 73 )²

( 19 + 80 )² – ( 19 )( 80 ) = ( 91 )²

( 21 + 99 )² – ( 21 )( 99 ) = ( 111 )²

…

( a + b )² – ( a )( b ) = ( c )²   où  ( a et b ) ne sont pas forcément consécutifs

a_{n+1}=a_n+2  et   b_{n+1}=a_n+b_n d’où la suite

u_n = ( 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111, … ) , est définie par

u_{n+1}=u_n+6+2n   avec    u_1=13

Cette suite correspond au paramétrage suivant :

( n² + 5n + 7 )² = ( 2n + 5 )² + ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 )

Soit   c = n² + 5n + 7

Si  n = 1,  alors  c = 13,  n = 2  alors  c = 21, n = 3  alors  c = 31, etc …

En posant  ( 2n + 5 ) = b²  dans ce paramétrage, on obtient des solutions à l’équation

a^2-b^4=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)

21^2-3^4=360    ( n = 2 )

157^2-5^4=24024    ( n = 10 )

601^2-7^4=358800    ( n = 22 )

1641^2-9^4=2686320    ( n = 38 )

3661^2-11^4=13388280    ( n = 58 )

7141^2-13^4=50965320    ( n = 82 )

12657^2-15^4=160149024    ( n = 110 )

etc, …

Soit la suite u_n = ( 2, 10, 22, 38, 58, 82, 110, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+4+4n  avec  u_1 = 2

Remarque : Ce paramétrage permet d’en exprimer deux autres avec une constante

( n² + 5n + 7 )² + 1 = ( 2n + 5 )² + ( n² + 5n + 5 )²

(n^4+10n^3+37n^2+60n+35)^2+1=(2n^3+15n^2+35n+25)^2 +

(n^2+5n+5)^2+[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]^2

Relation entre le produit de 4 nombres consécutifs et le carré de ce produit :

[(n² + 5n + 5 )( n² + 5n + 7 )]² – [( 2n + 5 )( n² +5n + 5)]² =

( n+ 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) + ( n + 1 )²( n + 2 )²( n + 3 )²( n + 4 )²

Paramétrage de l’équation :  ( a – b )² + ( a )( b ) = c²

a = 176 + 46k + 3k²    ;    b = 161 + 44k + 3k²    ;    c = 169 + 45k + 3k²

a = 225 + 52k + 3k²    ;    b = 208 + 50k + 3k²    ;    c = 217 + 51k +3k²

a = 32865 + 628k + 3k²  ;  b = 32656 + 626k + 3k²  ;  c = 32761 + 627k + 3k²

a = 6356896 + 8734k + 3k²  ;  b = 6353985 + 8732k + 3k²

c = 6355441 + 8733k + 3k²

D’où le système  n° 1  suivant :

( a + b )² – ( a )( b ) = ( c )²    avec  b = a + 1      ( équation E )   et

(d-e)^2+(d)(e)=c^4    d, e    non consécutifs   avec  ( d – e ) = ( a + b )

alors  c^2+a(a+1)=c^4-(2a+1+e)(e) lorsque  e = c² – a – 1

( 7 + 8 )² – ( 7 )( 8 ) = ( 13 )²

( 104 + 105 )² – ( 104 )( 105 ) = ( 181 )²

( 1455 + 1456 )² – ( 1455 )( 1456 ) = ( 2521 )²

…

(176-161)^2+(176)(161)=(13)^4  ;

(32865-32656)^2+(32865)(32656)=(181)^4  ;

(6356896-6353985)^2+(6356896)(6353985)=(2521)^4

…

système  n° 2

( a + b )² – ( a )( b ) = c²    avec    b = a + 1

(d-e)^2+(d)(e)=c^4    avec    e = a + b

alors   c = ( 1 + 3a + 3a² )  et  d = ( 3a² + 4a + 1 )  ou  d = ( – 3a² – 2a )

exemple :  avec   d = ( 3a² + 4a + 1 )

(176-15)^2+(176)(15)=(13)^4  ;

(32865-209)^2+(32865)(209)=(181)^4  ;

(6356896-2911)^2+(6356896)(2911)=(2521)^4  ;

…

exemple :  avec   d = ( – 3a² – 2a ) = ( a + 1 – c² )

(-161-15)^2+(-161)(15)=(13)^4  ;

(-32656-209)^2+(-32656)(209)=(181)^4  ;

(-6353985-2911)^2+(-6353985)(2911)=(2521)^4

…

système  n° 3

( a + b )² – ( a )( b ) = c²    avec    b = a + 1

( d – e )² – ( d )( e ) = ( 1 + 5a + 5a² )²   avec   d = ( 5a² + 8a + 3 )  et  e = a + b

exemples :

( 304 – 15 )² – ( 304 )( 15 ) = ( 281 )²

( 54915 – 209 )² – ( 54915)(209) = ( 54601 )²

( 10596768 – 2911 )² – ( 10596768 )( 2911 ) = ( 10592401 )²

…

système  n° 4

( a + b )² – ( a )( b ) = c²    avec    b = a + 1

( d – e )² + ( d )( e ) = ( 3 + 9a + 7a² )²  avec  d = ( 5a² + 8a + 3 )

et  e = ( – 3a² – 2a )

exemples :

( 304 + 161 )² – ( 304 )( 161 ) = ( 409 )²

( 54915 + 32656 )² – ( 54915 )( 32656 ) = ( 76651 )²

( 10596768 + 6353985 )² – ( 10596768 )( 6353985 ) = ( 14832273 )²

…

Remarque :  K = ( 1 + 5a + 5a² )  et    K – c² = 2( a )( b )

Q = ( 3 + 9a + 7a² )  et    Q – c² = 2b( a + b )

Une infinité de solutions à l’ équation ( E ) sera donnée le mois prochain.

 

 

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