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identité du 1 novembre 2024

Posté le : vendredi 1 novembre 2024 par Vincent Thill

parcours maths 32

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de Janvier 2022  »

__________________________________________

Exprimons le produit de 2 nombres consécutifs sous la forme

d’une différence de 2 carrés :

a^2-b^4=n(n+1)

n = 4  ;  a = 6  et  b = 2

n = 20  ;  a = 26  et  b = 4

n = 84 ;  a = 106  et  b = 8

n = 340  ;  a = 426  et  b = 16

n = 1364  ;  a = 1706  et  b = 32

…

( n + 1 )  prend les valeurs de la suite u_n  définie tel que

u_{n+1}=u_n+4^{(n+2)}    avec  u_0=5

( a)  prend les valeurs de la suite v_n  définie tel que

v_{n+1}=v_n+(20)(4^n)    avec  v_0=6

Des exemples de cette liste se retrouvent dans le paramétrage proposé par

Marie-Nicole Gras :  a^2-b^4=n(n+1)

(15k^2+10k+1)^2-(3k+1)^4=(12k^2+8k)(12k^2+8k+1)

k = 1  ;  ( 26 )² – [( 4 )²]² = ( 20 )( 21 )

k = 2  ;  ( 81 )² – [( 7 )²]² = ( 64 )( 65 )

k = 3  ;  ( 166 )² – [( 10 )²]² = ( 132 )( 133 )

k = 4  ;  ( 281 )² – [( 13 )²]² = ( 224)( 225 )

k = 5  ;  ( 426 )² – [( 16 )²]² = ( 340 )( 341 )

k = 6  ;  ( 601 )² – [( 19 )²]² = ( 480 )( 481 )

k = 7  ;  ( 806 )² – [ ( 22 )²]² = ( 644 )( 645 )

k = 8  ;  ( 1041 )² – [ (25 )²]² = ( 832 )( 833 )

etc …

Soit la suite u_n = ( 55, 85, 115, 145, 175, 205, 235, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+30  avec  u_1=55

Cette suite correspond à a_{m+1}-a_m

Variante au problème, où cette fois-ci le produit de 2 nombres consécutifs

s’exprime sous la forme d’une différence de 2 puissances

n(n+1)+4^k=a^2  avec  ( k > 1 )

( 4 )( 5 ) + 16 = ( 6 )²

( 11 )( 12 ) + 64 =  ( 14 )²

( 20 )( 21 ) + 256 = ( 26 )²

(43 )( 44 ) + 1024 = ( 54 )²

( 84 )( 85 ) + 4096 = ( 106 )²

( 171 )( 172 ) + 16384 = ( 214 )²

…

Relation entre  ( 6, 14, 26, 54, 106, 214, … ),  on note cette série

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6  d’où la relation générale

a_n=2a_{n-1}+2(-1)^n    avec  n > 1

Remarque : Cette suite existe également sur le site Oeis.org

( https://oeis.org/A168648 ),  la présentation est différente mais équivalente

a_n=2a_{n-2}+a_{n-1}    avec  n > 2

Voici un autre exemple où un produit de 2 nombres consécutifs

est égal à une différence de 2 carrés :

( 8 + 9 )² + ( 8 )( 9 ) = ( 19 )²   qui peut s’écrire  ( a + b )² + ( a )( b ) = ( c )²

Cet exemple fait partie d’une liste où ( a ) et ( b ) ne sont pas consécutifs :

( 7 + 3 )² + ( 7 )( 3 ) = ( 11 )²

( 9 + 8 )² + ( 9 )( 8 ) = ( 19 )²

( 11 + 15 )² + ( 11 )( 15 ) = ( 29 )²

( 13 + 24 )² + ( 13 )( 24 ) = ( 41 )²

( 15 + 35 )² + ( 15 )( 35 ) = ( 55 )²

( 17 + 48 )² + ( 17 )( 48 ) = ( 71 )²

( 19 + 63 )² + ( 19)( 63 ) = ( 89 )²

( 21 + 80 )² + ( 21 )( 80 ) = ( 109 )²

…

a_{n+1}=a_n+2  et  b_{n+2}=b_{n+1}+a_n  ainsi que la suite

u_n = ( 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, … ) est définie par

u_{n+1}=u_n+6+2n  avec  u_1=11

D’autre part cette suite correspond au paramétrage suivant :

( n² + 5n + 5 )² – 1 = ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 )

Soit  ( n² + 5n + 5 ) = c

Si  n = 1  alors  c = 11  ;  n = 2  alors  c = 19  ;  n = 3  alors  c = 29  etc …

Ainsi  ( 9 + 8 )² + ( 9 )( 8 ) = ( 3 )( 4 )( 5 )( 6 ) + 1    et  aussi

( 4 + 3 )² + ( 4 )( 3 ) = ( 3 )( 4 )( 5 ) + 1

Remarque :  Le couple  ( 152, 153 )  est le prochain après ( 8, 9 ),

il faut poser  n = 16  pour avoir  c = 341

( 152 + 153 )² + ( 152 )( 153 ) = ( 341 )² .

 

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