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identité du mois d’Octobre 2024

Posté le : mardi 1 octobre 2024 par Vincent Thill

parcours maths 40

_______________________________________________

Francesco Vissani a résolu le problème suivant avec  » x  » réel

x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4\\\

Supposons \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=q\\

Ainsi x+1+x-1+2\sqrt{x^2-1}=q^2\ donc

x+\sqrt{x^2-1}=\frac{q^2}{2}\\ La condition se lit comme suit

\frac{q^2}{2}+q=4\ donc \frac{(q+1)^2}{2}=4+\frac{1}{2}\\

D’où  ( q + 1 )² = 9  et  q + 1 = 3 , ainsi  q = 2 . A ce stade

x+\sqrt{x^2-1}=2\

D’où  x² – 1 = 4 + x² – 4x  et enfin  x = 5/4

Voici maintenant une famille de 8 triplets pythagoriciens ( a, b, c )

compris entre 0 et 1000 :

( 3, 4, 5 ) ; ( 63, 16, 65 ) ; ( 77, 36, 85 ) ; ( 17, 144, 145 ) ; ( 323, 36, 325 )

( 621, 100, 629 ) ; ( 561, 400, 689 ) ; ( 301, 900, 949 )  avec   » c  »  croissant

ainsi que  c – b = z²  ;  c + b = t²  et  b = k²

Cette famille permet de résoudre en nombre rationnels ( x et y ) l’équation suivante :

x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=y\\\  en posant  x = ( c )/( b )

On a également  a = ( u )( v )  et  y = [ c + ( u )( k ) + ( v )( k ) + a ]/[ b ],  exemples

a = 3 ; b = 4 ; c = 5 ; u = 1 ; v = 3 ; k = 2 ; x = 5/4  et  y = 4

a = 63 ; b = 16 ; c = 65 ; u = 7 ; v = 9 ; k = 4 ; x = 65/16  et  y = 12

a = 77 ; b = 36 ; c = 85 ; u = 7 ; v = 11 ; k = 6 ; x = 85/36  et  y = 270/36

a = 17 ; b = 144 ; c = 145 ; u = 1 ; v = 17 ; k = 12 ; x = 145/144  et  y = 378/144

a = 323 ; b = 36 ; c =325 ; u = 17 ; v = 19 ; k = 6 ; x = 325/36  et  y = 864/36 = 24

a = 621 ; b = 100 ; c = 629 u = 23 ; v = 27 ; k = 10 ; x = 629/100  et  y = 35/2

a = 561 ; b = 400 ; c = 689 ; u = 17 ; v = 33 ; k = 20

x = 689/400  et  y = 2250/400

a = 301 ; b = 900 ; c = 949 ; u = 7 ; v = 43 ; k = 30

x = 949/900  et  y = 2750/900

Recherche de  » y  » en nombre entier en reprenant la notation de Francesco Vissani

y = 12  donc  q²/2 + q = 12  alors  ( q + 1 )²/2 = 12 + 1/2  donc  ( q+ 1 )² = 25

d’où  q + 1 = 5

y = 24  donc  q²/2 + q = 24  alors  ( q + 1 )²/2 = 24 + 1/2  donc  ( q + 1 ) ² = 49

d’où  q + 1 = 7

y = 40  donc  q²/2 + q = 40  alors  ( q + 1 )²/2 = 40 + 1/2  donc  ( q + 1 )² = 81

d’où  q + 1 = 9

y = 60  donc  q²/2 + q = 60  alors  ( q + 1 )²/2 = 60 + 1/2  donc  ( q + 1 )² = 121  d’où  q + 1 = 11

y = 84  donc  q²/2 + q = 84  alors  ( q + 1 )²/2 = 84 + 1/2  donc  ( q + 1 )² = 169  d’où  q + 1 = 13

…

Soit la suite v_n = ( 8, 12, 16, 20, … ) définie par v_{n+1}=v_n+4 avec

v_1=8

Soit la suite u_n = ( 4, 12, 24, 40, 60, … ) définie par u_{n+1}=u_n+v_n avec

u_1=4

Remarque :

A partir de  » y  » = 40  et  q + 1 = 9  donc  x+\sqrt{x^2-1}\ = 32

x² – 1 = 1024 + x² – 64x  donc  x = 1025/64  d’où le premier triplet pythagoricien

supérieur à  1000  qui résoud ce problème en nombre entier

( 1025 )² = ( 64 )² + ( 1023 )²

y = 60  donc  q = 10  et  x+\sqrt{x^2-1}\ = 50

2500 + x² – 100x = x² – 1  donc  x = 2501/100  et enfin

( 2501 )² = ( 100 )² + ( 2499 )²

y = 84  donc  q = 12  et  x+\sqrt{x^2-1}\ = 72

5184 + x² – 144x = x² – 1  donc  x = 5185/144  et enfin

( 5185 )² = ( 144 )² + ( 5183 )²

D’où une famille infinie de triplets pythagoriciens avec  c = a + 2 .

 

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