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identité du mois de Septembre 2024

Posté le : dimanche 1 septembre 2024 par Vincent Thill

parcours maths 39

Ce parcours présente une particularité remarquable :

Comment passer de x^n+(x+1)^n à x^{(n+1)}+(x+1)^{(n+1)} puis revenir à x^n+(x+1)^n en utilisant que des puissances.

Autre remarque : 2 possibilités de réponses à la question n°2.

_________________________________________________

A nouveau ce mois-ci on poursuivra l’étude sur les puissances et les suites, proposée dans  » identité du mois de Juillet 2024  » et  » identité du mois d’août 2024  ».

2^9-2^6=(11+x)^2-(3+x)^2;   x = 21,  2^9-2^6=(32)^2-(24)^2  ;

2^{11}-2^8=(11+x)^2-(3+x)^2;  x = 105,  2^{11}-2^8=(116)^2-(108)^2  ;

2^{13}-2^{10}=(11+x)^2-(3+x)^2;  x = 441,  2^{13}-2^{10}=(452)^2-(444)^2 ;

2^{15}-2^{12}=(11+x)^2-(3+x)^2;  x = 1785

…

Soit la suite u_n = ( 21, 105, 441, 1785, … )  définie par

u_{n+1}=(4)(u_n)+21  avec  u_1 = 21

généralisation :

2^{(2n+7)}-2^{(2n+4)}=(11+u_n)^2-(3+u_n)^2

____________________________________________

Soit  ( 376 + x ) = A  et  ( 374 + x ) = B

5^7-5^4=A^2-B^2;  x=19000,  5^7-5^4=(19376)^2-(19374)^2  ;

5^9-5^6=A^2-B^2;  x=484000,  5^9-5^6=(484376)^2-(484374)^2  ;

5^{11}-5^8=A^2-B^2;  x=12109000,  5^{11}-5^8=(12109376)^2-(12109374)^2  ;

5^{13}-5^{10}=A^2-B^2;  x=302734000,  5^{13}-5^{10}=(302734376)^2-(302734374)^2

5^{15}-5^{12}=A^2-B^2;  x=7568359000,

5^{15}-5^{12}=(7568359376)^2-(7568359374)^2

…

Soit la suite u_n = ( 19, 484, 12109, 302734, 7568359, … ) définie par

u_{n+1}=(25)(u_n)+9  avec  u_1 = 19, cette suite correspond à ( x/1000 ).

généralisation :

5^{(2n+5)}-5^{(2n+2)}=[376+(1000)(u_n)]^2-[374+(1000(u_n)]^2

_________________________________________________

Soit  ( 656 + x ) = A  et  ( 594 + x ) = B

5^9-5^6=A^2-B^2;  x=15000,  5^9-5^6=(15656)^2-(15594)^2  ;

5^{11}-5^8=A^2-B^2;  x=390000,  5^{11}-5^8=(390656)^2-(390594)^2  ;

5^{13}-5^{10}=A^2-B^2;  x=9765000,  5^{13}-5^{10}=(9765656)^2-(9765594)^2  ;

5^{15}-5^{12}=A^2-B^2;  x=244140000,  5^{15}-5^{12}=(244140656)^2-(244140594)^2

…

Soit la suite u_n = ( 15, 390, 9765, 244140, … ) définie par

u_{n+1}=(25)(u_n)+15 avec u_1 = 15, cette suite correspond à ( x/1000 )

généralisation :

5^{(2n+7)}-5^{(2n+4)}=[656+(1000)(u_n)]^2-[594+(1000)(u_n)]^2

_______________________________________________

Soit  ( 539 + x ) = A  et  ( 109 + x ) = B

6^9-6^6=A^2-B^2;  x = 11340, 6^9-6^6=(11879)^2-(11449)^2 ;

6^{11}-6^8=A^2-B^2;  x = 419580,  6^{11}-6^8=(420119)^2-(419689)^2  ;

6^{13}-6^{10}=A^2-B^2;  x = 15116220,  6^{13}-6^{10}=(15116759)^2-(15116329)^2  ;

6^{15}-6^{12}=A^2-B^2;  x = 544195260,  6^{15}-6^{12}=(544195799)^2-(544195369)^2

…

Soit la suite  u_n] = ( 11340, 419580, 15116220, 544195260, … ) définie par

u_{n+1}=(36)(u_n)+11340 avec u_1 = 11340

généralisation

6^{(2n+7)}-6^{(2n+4)}=(539+u_n)^2-(109+u_n)^2

 

 

 

 

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