Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans
» identité du mois de Janvier 2022 »
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Forme quadratique et algorithme
a² + 3b² = 7k tel que k s’écrit également A² + 3B²
Solution proposée par Paul Abbott
a = 2u + 3v et b = 2v – u
( 2u + 3v )² + 3( 2v – u )² = 7( u² + 3v² )
En poursuivant cette idée de façon algorithmique
u = 2x + 3y et v = 2y – x
( x + 12y )² + 3( y – 4x )² = 49( x² + 3y² )
x = 2z + 3t et y = 2t – z
( 27t – 10z )² + 3( -10t – 9z )² = 343( z² + 3t² )
z = 2p + 3q et t = 2q – p
( 24q – 47p )² + 3( – 47q – 8p )² = 2401( p² + 3q² )
etc …
généralisation
Toujours en continuant cette exploration, on peut noter ceci :
( u + 3v )² + 3( v – u )² = 4( u² + 3v² ) ; ( 2u + 3v )² + 3( 2v – u )² = 7( u² + 3 v² )
( 3u + 3v )² + 3( 3v – u )² = 12( u² + 3v²) ; ( 4u + 3v )² + 3( 4v – u )² = 19( u² + 3v² )
( 5u + 3v )² + 3( 5v – u )² = 28( u² + 3v²) ; ( 6u + 3v )² + 3( 6v – u )² = 39( u² + 3v²)
etc …
généralisation
( nu + 3v )² + 3( nv – u )² = ( n² + 3 )( u² + 3v² ) ( 1 ) avec n entier
Si u = nx + 3y et v = ny – x
( xn² + 6ny – 3x )² + 3( yn² – 2nx – 3y )² = ( n² + 3 )²( x² + 3y² )
Si x = nz + 3t et y = nt – z
Si z = np + 3q et t = nq – p
En reprenant l’égalité ( 1 ) avec u = x + 3y et v = y – x
( nx + 3ny + 3y – 3x )² + 3( ny – nx – x – 3y )² = 4( n² + 3 )( x² + 3y² )
égalité ( 1 ) avec u = nx + 3y et v = ny – x ; x = z + 3t et y = t – z
( n²z + 3n²t + 6nt – 6nz – 3z – 9t )² + 3( n²t – n²z – 2nz – 6nt – 3t + 3z )² =
4( n² + 3 )²( z² + 3t² )
Même problème avec une forme quadratique différente
a² – ab + b² = 7k avec k qui s’écrit A² – AB + B²
( 3v – 2u )² – ( 3v – 2u )( 2v + u ) + ( 2v + u )² = 7( u² – uv + v² )
généralisation
( vn + v – un )² – ( vn + v – un )( vn + u ) + ( vn + u )² = ( n² + n + 1 )( u² – uv + v² )
si u = 3y – 2x et v = 2y + x
( x + 2y + 3nx – ny )² – ( x + 2y + 3nx – ny )( 2yn + nx + 3y – 2x ) +
( 2yn + nx + 3y – 2x )² = 7( n² + n + 1 )( x² – xy + y² )
si u = 5x – 4y et v = 4x + y
( 4x – nx + 5ny + y )² – ( 4x – nx + 5ny + y )( 5x + 4nx + ny – 4y ) +
( 5x + 4nx + ny – 4y )² = 21( n² + n + 1 )( x² – xy + y² )
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( 5x – 4y )² – ( 5x – 4y )( 4x + y ) + ( 4x + y )² = 21( x² – xy + y² )
( 7x – 6y )² – ( 7x – 6y )( 6x + y ) + ( 6x + y )² = 43( x² – xy + y² )
généralisation
( 3x + 2xn – 2y – 2yn )² – ( 3x + 2xn – 2y – 2yn )( 2x + 2xn + y ) +
( 2x + 2xn + y )² = ( 7 + 10n + 4n² )( x² – xy + y² )
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( 13x – 10y )² – ( 13x – 10y )( 10x + 3y ) + ( 10x + 3y )² = 139( x² – xy + y² )
généralisation
( 7x + 6xn – 6y – 4yn )² – ( 7x + 6xn – 6y – 4yn )( 6x + 4xn + 2yn + y ) +
( 6x + 4xn + 2yn + y )² = ( 43 + 68n + 28n² )( x² – xy + y² )
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( 5y – 8x )² – ( 5y – 8x )( – 3y – 5x ) + ( – 3y – 5x )² = 49( x² – xy + y² )
généralisation
( ny + 3x – nx )² – ( ny + 3x – nx )( 3y – nx ) + ( 3y – nx )² =
( n² – 3n + 9 )( x² – xy + y² )
Remarque :
Pour passer de la forme a² + ab + b² à la forme A² + 3B² il faut effectuer un
changement de variable en posant a = u + v et b = u – v alors
a² + ab + b² devient 3u² + v² .
