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identité du mois d’Avril 2024

Posté le : lundi 1 avril 2024 par Vincent Thill

parcours maths 35

Dans ce parcours, on a que des égalités du type :   a & b & c = d  où   a, b, c, d  sont des carrés , des cubes ou d’autres puissances et le symbole  &  représente soit le signe + soit le signe –

Donc en partant du nombre trouvé au départ, on le retrouve après 8 étapes . Soit un cycle de 8 ou une suite périodique de période 8 .

Même chose avec le nombre trouvé étape 7 et étape 10 , d’où un cycle de 3 ou une suite périodique de période 3 .

 

Pour l’utilisation de ce dessin se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de janvier 2022 « .

__________________________________________________________

Soit les systèmes suivant  avec    a > b

( a )( b ) + 4    et    ( 4 )( b ) + a    sont tous les deux des carrés parfaits

couples ( a, b ) : ( 5, 1 ) ; ( 13, 9 ) ; ( 16, 12 ) ; ( 32, 28 ) ; ( 37, 33 ) ; ( 61, 57 )

( 68, 64 ) ; ( 100, 96 ) ; ( 109, 105 ) ; ( 149, 145 ) ; ( 160, 156 ) ; ( 208, 204 ) ;

( 221, 217 ) …

généralisation a_{2n}-a_{2n-1}=8n  avec  n > 0   et   b = a – 4

Soit la suite ( 8, 16, 24, 32, 40, 48, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+8  avec  u_1=8

a prend la suite ( 5, 13, 16, 32, 37, 61, 68, 100, … ) définie par

v_{2n}-v_{2n-1}=u_n  avec  v_1=5

Remarque   ( a )( b ) + 4 = ( b + 2 )²

________________________________

( a )( b ) + 9   et    ( 9 )( b ) + a    sont tous les deux des carrés parfaits

couples ( a, b ) : ( 7, 1 ) ; ( 9, 3 ) ; ( 25, 19 ) ; ( 31, 25 ) ; ( 63, 57 ) ; ( 73, 67 )

( 121, 115 ) ; ( 135, 129 ) ; ( 199, 193 ) ; ( 217, 211 ) ; ( 297, 291 ) ; ( 319, 313 ) …

généralisation a_{2n}-a_{2n-1}=2(2n-1)  avec  n > 0   et  b = a – 6

Soit la suite ( 2, 6, 10, 14, 18, 22, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+4  avec  u_1=2

a prend la suite ( 7, 9, 25, 31, 63, 73, 121, 135, … ) définie par

v_{2n}-v_{2n-1}=u_n  avec  v_1=7

Remarque   ( a )( b ) + 9 = ( b + 3 )²

______________________________________

( a )( b ) + 16   et    ( 16 )( b )  + a   sont tous les deux des carrés parfaits

couples ( a, b ) : ( 16, 8 ) ; ( 36, 28 ) ; ( 57, 49 ) ; ( 97, 89 ) ; ( 132, 124 )

( 192, 184 ) ; ( 241, 233 ) ; ( 321, 313 ) ; ( 384, 376 ) ; ( 484, 476 )

( 561, 553 ) ; ( 681, 673 ) …

généralisation a_{2n}-a_{2n-1}=20n  avec  n > 0   et   b = a – 8

Soit la suite ( 20, 40, 60, 80, 100, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+20  avec  u_1=20

a prend la suite ( 16, 36, 57, 97, 132, 192, 241, 321, … ) définie par

v_{2n}-v_{2n-1}=u_n  avec  v_1=16

Remarque   ( a )( b ) + 16 = ( b + 4 )²

_____________________________________

( a )( b ) + 25   et   ( 25 )( b ) + a   sont tous les deux des carrés parfaits

couples ( a, b ) : ( 11, 1 ) ; ( 25, 15 ) ; ( 49, 39 ) ; ( 91, 81 ) ; ( 139 129 )

( 209, 199 ) ; ( 281, 271 ) ; ( 379, 369 ) ; ( 475, 465 ) ; ( 601, 591 )

( 721, 711 ) ; ( 875, 865 ) …

généralisation a_{2n}-a_{2n-1}=14(2n-1)  avec  n > 0   et   b = a – 10

Soit la suite ( 14, 42, 70, 98, 126, 154, … ) définie par

u_{n+1}=u_n+28  avec  u_1=14

a prend la suite ( 11, 25, 49, 91, 139, 209, 281, … ) définie par

v_{2n}-v_{2n-1}=u_n  avec  v_1=11

Remarque   ( a )( b ) + 25 = ( b + 5 )²

 

En fait dans ces 4 exemples, il faut résoudre l’équation suivante :

a(p^2+1)-2p^3=q^2

exemple 1 :   p = 2  ;  couple  ( a, q )

( 5, 3 ) ; ( 13, 7 ) ; ( 16, 8 ) ; ( 32, 12 ) ; ( 37, 13 ) ; ( 61, 17 ) ; ( 68, 18 ) ; ( 100, 22 )

( 109, 23 ) ; ( 149, 27 ) ; ( 160, 28 ) ; ( 208, 32 ) ; ( 221, 33 ) …

généralisation

q_{2n}-q_{2n-1}=4  et  q_{2n+1}-q_{2n}=1

exemple 2 :   p = 3  ;  couple ( a, q )

( 7, 4 ) ; ( 9, 6 ) ; ( 25, 14 ) ; ( 31, 16 ) ; ( 63, 24 ) ; ( 73, 26 ) ; ( 121, 34 )

( 135, 36 ) ; ( 199, 44 ) ; ( 217, 46 ) ; ( 297, 54 ) ; ( 319, 56 ) …

généralisation

q_{2n}-q_{2n-1}=2  et  q_{2n+1}-q_{2n}=8

exemple 3 :   p = 4  ;  couple ( a, q )

( 16, 12 ) ; ( 36, 22 ) ; ( 57, 29) ; ( 97, 39 ) ; ( 132, 46 ) ; ( 192, 56 ) ; ( 241, 63 )

( 321, 73 ) ; ( 384, 80 ) ; ( 484, 90 ) ; ( 561, 97 ) ; ( 681, 107 ) …

généralisation

q_{2n}-q_{2n-1}=10  et  q_{2n+1}-q_{2n}=7

exemple 4 :  p = 5  ;  couple ( a, q )

( 11, 6 ) ; ( 25, 20 ) ; ( 49, 32 ) ; ( 91, 46 ) ; ( 139, 58 ) , ( 209, 72 ) ; ( 281, 84 )

( 379, 98 ) ; ( 475, 110 ) ; ( 601, 124 ) ; ( 721, 136 ) ; ( 875, 150 ) …

généralisation

q_{2n}-q_{2n-1}=14  et  q_{2n+1}-q_{2n}=12

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