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identité du mois de Février 2024

Posté le : jeudi 1 février 2024 par Vincent Thill

parcours maths 28

________________________________________

(14)^4+(56)^4+(70)^4=(34)^4+(40)^4+(74)^4         ( 1 )

(14)^4+(49)^4+(63)^4=(29)^4+(37)^4+(66)^4         ( 2 )

(14)^4+(42)^4+(56)^4=(24)^4+(34)^4+(58)^4         ( 3 )

A partir des égalités  ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ),  on procède ainsi :

(14+14)^4+(56+49)^4+(70+63)^4=(34+29)^4+(40+37)^4+(74+66)^4 (14+14)^4+(42+56)^4+(56+70)^4=(24+34)^4+(34+40)^4+(58+74)^4 (14+14)^4+(49+42)^4+(63+56)^4=(29+24)^4+(37+34)^4+(66+58)^4

Ce qui nous donne respectivement :

(28)^4+(105)^4+(133)^4=(63)^4+(77)^4+(140)^4         ( 4 )

(28)^4+(98)^4+(126)^4=(58)^4+(74)^4+(132)^4          ( 5 )

(28)^4+(91)^4+(119)^4=(53)^4+(71)^4+(124)^4            ( 6 )

également ceci :

(14+14+14)^4+(56+49+42)^4+(70+63+56)^4 =

(34+29+24)^4+(40+37+34)^4+(74+66+58)^4        Soit

(42)^4+(147)^4+(189)^4=(87)^4+(111)^4+(198)^4      PGCD = 3

(14)^4+(49)^4+(63)^4=(29)^4+(37)^4+(66)^4         ( 2 )

A partir des égalités  ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ),  on procède ainsi :

(28+28)^4+(105+98)^4+(133+126)^4=(63+58)^4+(77+74)^4+(140+132)^4 (28+28)^4+(105+91)^4+(133+119)^4=(63+53)^4+(77+71)^4+(140+124)^4 (28+28)^4+(98+91)^4+(126+119)^4=(58+53)^4+(74+71)^4+(132+124)^4

Ce qui nous donne respectivement :

(56)^4+(203)^4+(259)^4=(121)^4+(151)^4+(272)^4         ( 7 )

(56)^4+(196)^4+(252)^4=(116)^4+(148)^4+(264)^4         ( 8 )

(56)^4+(189)^4+(245)^4=(111)^4+(145)^4+(256)^4          ( 9 )

également ceci :

(28+28+28)^4+(105+98+91)^4+(133+126+119)^4  =

(63+58+53)^4+(77+74+71)^4+(140+132+124)^4        Soit

(84)^4+(294)^4+(378)^4=(174)^4+(222)^4+(396)^4       PGCD = 6

(14)^4+(49)^4+(63)^4=(29)^4+(37)^4+(66)^4        ( 2 )

A partir des égalités  ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ),  on procède ainsi :

(56+56)^4+(203+196)^4+(259+252)^4=(121+116)^4+(151+148)^4+(272+264)^4 (56+56)^4+(203+189)^4+(259+245)^4=(121+111)^4+(151+145)^4+(272+256)^4 (56+56)^4+(196+189)^4+(252+245)^4=(116+111)^4+(148+145)^4+(264+256)^4

Ce qui nous donne respectivement :

(112)^4+(399)^4+(511)^4=(237)^4+(299)^4+(536)^4         ( 10 )

(112)^4+(392)^4+(504)^4=(232)^4+(296)^4+(528)^4       ( 11 )

(112)^4+(385)^4+(497)^4=(227)^4+(293)^4+(520)^4        ( 12 )

également ceci :

(56+56+56)^4+(203+196+189)^4+(259+252+245)^4  =

(121+116+111)^4+(151+148+145)^4+(272+264+256)^4      Soit

(168)^4+(588)^4+(756)^4=(348)^4+(444)^4+(792)^4      PGCD = 12

(14)^4+(49)^4+(63)^4=(29)^4+(37)^4+(66)^4         ( 2 )

A partir des égalités   ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ),  on procède ainsi :

(112+112)^4+(399+392)^4+(511+504)^4=(237+232)^4+(299+296)^4+(536+528)^4 (112+112)^4+(399+385)^4+(511+497)^4=(237+227)^4+(299+293)^4+(536+520)^4 (112+112)^4+(392+385)^4+(504+497)^4=(232+227)^4+(296+293)^4+(528+520)^4

Ce qui nous donne respectivement :

(224)^4+(791)^4+(1015)^4=(469)^4+(595)^4+(1064)^4         ( 13 )

(224)^4+(784)^4+(1008)^4=(464)^4+(592)^4+(1056)^4        ( 14 )

(224)^4+(777)^4+(1001)^4=(459)^4+(589)^4+(1048)^4         ( 15 )

également ceci :

(112+112+112)^4+(399+392+385)^4+(511+504+497)^4  =

(237+232+227)^4+(299+296+293)^4+(536+528+520)^4      Soit

(336)^4+(1176)^4+(1512)^4=(696)^4+(888)^4+(1584)^4     PGCD = 24

(14)^4+(49)^4+(63)^4=(29)^4+(37)^4+(66)^4        ( 2 )

On revient donc toujours sur cette égalité  ( 2 )

Propriétés de ces égalités

Toutes ces égalités sont de la forme a_n+b_n=c_n et d_n+e_n=f_n ainsi que

b_n+b_{(n+2)}=2b_{(n+1)} ; c_n+c_{(n+2)}=2c_{(n+1)} ; d_n+d_{(n+2)}=2d_{(n+1)} ; e_n+e_{(n+2)}=2e_{(n+1)} ; f_n+f_{(n+2)}=2f_{(n+1)}  de même que

b_{(n+2)}+7=b_{(n+1)} ; b_{(n+1)}+7=b_n ; c_{(n+2)}+7=c_{(n+1)}

c_{(n+1)}+7=c_n ; d_{(n+2)}+5=d_{(n+1)} ; d_{(n+1)}+5=d_n

e_{(n+2)}+3=e_{(n+1)} ; e_{(n+1)}+3=e_n ;

f_{(n+2)}+8=f_{(n+1)} ; f_{(n+1)}+8=f_n ;

A propos des égalités  ( 2 ), ( 5 ), ( 8 ), ( 11 ), ( 14 )  nous avons

( 5 ) = k( 2 )  ;  ( 8 ) = k( 5 )  ;  ( 11 ) = k( 8 )  ;  ( 14 ) = k( 11 )  avec k = 2^4

(a_n)^4+(b_n)^4+(c_n)^4=(d_n)^4+(e_n)^4+(f_n)^4 (a_{(n+1)})^4+(b_{(n+1)})^4+(c_{(n+1)})^4=(d_{(n+1)})^4+(e_{(n+1)})^4+(f_{(n+1)})^4 (a_{(n+2)})^4+(b_{(n+2)})^4+(c_{(n+2)})^4=(d_{(n+2)})^4+(e_{(n+2)})^4+(f_{(n+2)})^4

_____________________________________________

Solution de l’énigme du mois de Janvier 2024

a = 2024  ;  b = 1  ;  c = 1  .Soit 2 nombres identiques  » 1  », la place de 2024 n’a pas d’importance

et tous les carrés parfaits donnent 2025 = ( 45 )² .

Deuxième chance

a = 2024  ;  b = 185  ;  c = 104  ;  p = 612  ;  q = 459  ;  r = 17  ;  s = 765  ;  t = 9

Si a = 2024 c’est en effet la seule solution

Si b = 2024 il n’y a pas de solution

Si c = 2024, s’il existe une ou plusieurs solutions cela ne peut être

que dans les grands nombres > 113352 .

 

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