Pas de commentaires sur ce parcours un peu narcissique tout de même
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Problème posé par Wendy Appleby
Trouver tous les triplets d’entiers positifs a > b > c tels que
ab + c ; ac + b ; bc + a soient tous des carrés parfaits.
exemple avec c = 1
( 9, 7, 1 ) ; ( 19, 17, 1 ) ; ( 33, 31, 1 ) ; ( 51, 49, 1 ) ; ( 73, 71, 1 )
( 99, 97, 1 ) ; ( 129, 127, 1 ) ; ( 163, 161, 1 )
Soit la suite ( 10, 14, 18, 22, 26, 30, … ) définie par
a prend la suite ( 9, 19, 33, 51, 73, 99, 129, 163, … ) définie par
Roger Bagula précise que la suite ( 9, 19, 33, 51, 73, 99, 129, 163, … ) se trouve
sur OEIS https://oeis.org/A058331
Remarque : ab + c = k² , lorsque c = 1 et a et b sont 2 nombres premiers jumeaux
car a = p + 2 donc b = p , ab + 1 = ( p + 1 )²
Tous les nombres premiers jumeaux ne vérifient pas les 3 conditions
Roger Bagula trouve seulement 7 nombres premiers jumeaux parmi les 10000 premiers nombres premiers qui vérifient ces 3 conditions.
couple ( a, b ) : ( 19, 17 ) ; ( 73, 71 ) ; ( 883, 881 ) ; ( 1153, 1151 )
( 2593, 2591 ) ; ( 3529, 3527 ) ; ( 4051, 4049 )
Poursuite de la liste par Maximilian Hasler
( 20809, 20807 ) ; ( 34849, 34847 ) ; ( 46819, 46817 ) ; ( 69193, 69191 )
( 83233, 83231 )
Il s’agit des nombres d’Appleby d’après Roger Bagula, il propose la conjecture suivante :
Ma conjecture est qu’il n’y a qu’un ensemble dénombrable de nombres premiers jumeaux d’Appleby en tant que sous-ensemble de nombres premiers jumeaux.
Autre solution proposée par Maximilian Hasler : Pour c = 3, les plus petits exemples sont :
( 577, 33, 3 ) ; ( 913, 177, 3 ) ; ( 2017, 33, 3 )
Roger Bagula a établit une liste de solutions au problème
Classement des exemples numériques proposés par Roger Bagula
p = ab + c ; q = ac + b ; r = bc + a ( p, q, r tous des carrés parfaits )
avec b = c on obtient p = q = ab + b et r = b² + a
( 17, 8, 8 ) ; ( 48, 4, 4 ) ; ( 63, 9, 9 ) ; ( 99, 49, 49 )
( 399, 25, 25 ) ; ( 577, 288, 288 )
avec b et c carrés parfaits et a > b > c
( 28, 9, 4 ) ; ( 52, 16, 9 ) ; ( 57, 49, 16 ) ; ( 84, 25, 16 ) ; ( 105, 64, 4 ) ;
( 124, 36, 25 )
avec c carré parfait et a > b > c
( 33, 12, 4 ) ; ( 57, 28, 4 ) ; ( 64, 33, 4 ) ; ( 72, 28, 9 ) ; ( 96, 57, 4 ) ;
( 108, 52, 9 )
( 112, 57, 16 ) ; ( 124, 33, 4 ) ; ( 129, 52, 16 ) ; ( 136, 72, 9 ) ; ( 145, 96, 4 ) ; ( 177, 84, 16, ) ; ( 297, 136, 9 )
avec a > b > c
( 73, 24, 12, ) ; ( 88, 33, 12 ) ; ( 89, 17, 8 ) ; ( 129, 40, 24 ) ; ( 129, 97, 31 ) ; ( 148, 73, 12 ) ; ( 169, 88, 12 )
avec c = 4 et a > b > c
( 28, 9, 4 ) ; ( 33, 12, 4 ) ; ( 48, 4, 4 ) ; ( 57, 28, 4 ) ; ( 64, 33, 4 )
( 96, 57, 4 ) ; ( 105, 64, 4 ) ; ( 124, 33, 4 ) ; ( 145, 96, 4 )
Pour compléter le travail de Roger Bagula, j’ai réalisé plusieurs listes :
avec c = 4 et a > b > c
( 28, 9, 4 ) ; ( 57, 28, 4 ) ; ( 96, 57, 4 ) ; ( 145, 96, 4 ) ; ( 204, 145, 4 )
( 273, 204, 4 ) ; ( 352, 273, 4 ) ; ( 441, 352, 4 ) ; ( 540, 441, 4 ) ;
( 649, 540, 4 ) ; ( 768, 649, 4 ) ; ( 897, 768, 4 ) …
généralisation
avec c = 4 et a > b > c
( 33, 12, 4 ) ; ( 64, 33, 4 ) ; ( 105, 64, 4 ) ; ( 156, 105, 4 ) ; ( 217, 156, 4 )
( 288, 217, 4 ) ; ( 369, 288, 4 ) ; ( 460, 369, 4 ) ; ( 561, 460, 4 )
( 672, 561, 4 ) ; ( 793, 672, 4 ) ; ( 924, 793, 4 ) …
généralisation
avec c = 9 et a > b > c
( 52, 16, 9 ) ; ( 108, 52, 9 ) ; ( 184, 108, 9 ) ; ( 280, 184, 9 ) ; ( 396, 280, 9 )
( 532, 396, 9 ) ; ( 688, 532, 9 ) ; ( 864, 688, 9 ) ; ( 1060, 864, 9 )
( 1276, 1060, 9 ) ; ( 1512, 1276, 9 ) ; ( 1768, 1512, 9 ) …
généralisation
avec c = 12 et a > b > 12
( 73, 24, 12 ) ; ( 88, 33, 12 ) ; ( 148, 73, 12 ) ; ( 169, 88, 12 )
( 249, 148, 12 ) ; ( 276, 169, 12 ) ; ( 376, 249, 12 ) ; ( 409, 276, 12 )
( 529, 376, 12 ) ; ( 568, 409, 12 ) ; ( 708, 529, 12 ) ; ( 753, 568, 12 )
( 913, 708, 12 ) ; ( 964, 753, 12 ) ; ( 1144, 913, 12 ) …
Remarque : le triplet initial avec c = 12 est ( 33, 4, 12 ) mais la condition
a > b > c n’est pas respectée.
généralisation
![[a_{(n+2)},a_n,12]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ba_%7B%28n%2B2%29%7D%2Ca_n%2C12%5D&bg=T&fg=000000&s=0 "[a_{(n+2)},a_n,12]")
avec c = 16 et a > b > c
( 84, 25, 16 ) ; ( 177, 84, 16 ) ; ( 304, 177, 16 ) ; ( 465, 304, 16 )
( 660, 465, 16 ) ; ( 889, 660, 16 ) ; ( 1152, 889, 16 ) ; ( 1449, 1152, 16 )
( 1780, 1449, 16 ) ; ( 2145, 1780, 16 ) ; ( 2544, 2145, 16 )
( 2977, 2544, 16 ) … généralisation
avec c = 16 et a > b > c
( 129, 52, 16 ) ; ( 240, 129, 16 ) ; ( 385, 240, 16 ) ; ( 564, 385, 16 )
( 777, 564, 16 ) ; ( 1024, 777, 16 ) ; ( 1305, 1024, 16 ) ; ( 1620, 1305, 16 )
( 1969, 1620, 16 ) ; ( 2352, 1969, 16 ) ; ( 2769, 2352, 16 )
( 3220, 2769, 16 ) … généralisation
Revenons aux nombres d’Appleby » p » et observons la particularité suivante :
p = ( 17, 71, 881, 1151, 2591, 3527, 4049, 20807, 34847, 46817, 69191, 83231 )
1 + 7 = 8 ; 7 + 1 = 8 ; 8 + 8 + 1 = 17 et 1 + 7 = 8 ; 1 + 1 + 5 + 1 = 8
2 + 5 + 9 + 1 = 17 et 1 + 7 = 8
3 + 5 + 2 + 7 = 17 et 1 + 7 = 8 ; 4 + 4 + 9 = 17 et 1 + 7 = 8 ; 2 + 8 + 7 = 17 et 1 + 7 = 8 ;
3 + 4 + 8 + 4 + 7 = 26 et 2 + 6 = 8 ; 4 + 6 + 8 + 1 +7 = 26 et 2 + 6 = 8
6 + 9 + 1 + 9 + 1 = 26 et 2 + 6 = 8 ; 8 + 3 + 2 + 3 + 1 = 17 et 1 + 7 = 8
Je propose donc la conjecture suivante :
La somme des chiffres qui composent » p » ( nombre d’Appleby ) revient toujours à 8
même après avoir réitéré le procédé .
