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identité du mois de Septembre 2023

Posté le : vendredi 1 septembre 2023 par Vincent Thill

parcours maths 27

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de Janvier 2022  » .

_______________________________________________

Pour compléter le parcours ci-dessus, on va examiner des équations contenant

4 éléments avec des puissances 2 et 4.

Voici 6 égalités :

[a^2+e^2+c^4=b^4] ;

[a^2+b^4=c^4+d^2] ;

[a^2+d^2+b^4=f^2] ;

[( e )( b )=( c )( d )] ;

[b^2-c^2=a] ;

[( 2a )( c^2 )=e^2]

Exemple numérique avec la plus petite solution entière qui contient

un carré et 3 puissances 4.

a = 8  ;  b = 3  ;  c = 1  ;  d = 12  ;  f = 17  ;  e = 4  ;  Soit

8^2+2^4+1=3^4  ;  autre exemple du même type :

a = 10368 ; b = 113 ; c = 49 ; d = 16272 ; e = 7056 ; f = 23137 ;   Soit

10368^2+49^4+84^4=113^4

Ces 2 exemples vérifient les 6 égalités ci-dessus, il en est de même pour les paramétrages suivants :

a = 8( x + 1 )²( x + 2 )²   ;   b = 3x² + 8x + 6   ;   c = x² – 2 ;

d = 4( x + 1 )( x + 2 )( 3x² + 8x + 6 )   ;   e = 4( x + 1 )( x + 2 )( x² – 2 )

f =68+192x+204x^2+96x^3+17x^4  .  Exemple  x = 3

a = 3200  ;  b = 57  ;  c = 7  ;  d = 4560  ;  e = 560  ;  f = 6449

_________

a = 8( x + 1 )²( x + 2 )²    ;    b = 3x² + 10x + 9    ;    c = x² + 6x + 7  ;

d = 4( x + 1 )( x + 2 )( 3x² + 10x + 9 )    ;    e = 4( x + 1 )( x + 2 )( x² + 6x + 7 )

f =113+276x+258x^2+108x^3+17x^4   .  Exemple  x = 3

a = 3200  ;  b = 66  ;  c = 34  ;  d = 5280  ;  e = 2720  ;  f = 7556

_____________

Equation de Pell avec une constante  » 2  »

a = 32x²    ;    b=2\sqrt{8x^2+1}\    ;    c = 2

d =16x\sqrt{8x^2+1}\    ;    e = 16x    ;    f = 4( 16x² + 1 )

Avec    y² = 8x² + 1    ,  exemple  couples  ( x, y )

( 0, 1 )  ;  ( 1, 3 )  ;  ( 6, 17 )  ;  ( 35, 99 )  ;  ( 204, 577 )  …

______________________

Equation de Pell avec une constante  » 2  »

(3x+2y+2)^2(3x+2y-2)^2+(8x+6y)^2+(2)^4=(3x+2y)^4

Lorsque   y² = 2x² – 8    couples ( x, y) :

( 2, 0 )  ;  ( 6, 8 )  ;  ( 34, 48 )  ;  ( 198, 280 )  ;  etc …    Exemple  x = 6  et  y = 8

1152^2+96^2+2^4=34^4

a = 1152  ;  b = 34  ;  c = 2  ;  d = 1632  ;  e = 96  ;  f = 2308

Remarque :  d = ( 3x + 2y )( 4x + 3y )  et  f = 2( 3x + 2y + 2)( 3x + 2y – 2 ) + 4

___________________

Equation d’hyperbole avec une constante  » 2  »

(3x-4y+2)^2(3x-4y-2)^2+(8x-6y)^2+(2)^4=(3x-4y)^4

Lorsque   23y² + 2x² – 24xy = 8        exemple  x = 438  et  y = 40

1331712^2+3264^2+2^4=1154^4

a = 1331712  ;  b = 1154  ;  c = 2  ;  d = 1883328  ;  e = 3264  ;  f = 2663428

Généralisation avec 2 inconnues  ( p  et  q )

a = 8( pq – 3q – 1 )²( 2pq – 3q + 2 )²    ;    b = 27q² + 6p²q² + 6 – 24pq² + 4pq

c = 12pq – 9q² + 2p²q² + 2 – 24q    ;

d = 4( pq – 3q – 1 )( 2pq – 3q + 2 )( 27q² + 6p²q² + 6 – 24pq² + 4pq )

e = 4( 12pq – 9q² + 2p²q² + 2 – 24q )( 2pq – 3q + 2 )( pq – 3q – 1 )

f = 1377q^4-2592pq^4+1836p^2q^4-576p^3q^4+68p^4q^4-432q^3+648pq^3-288p^2q^3+48p^3q^3+108q^2+24p^2q^2+96q+48pq+68

Exemple    p = 1  et  q = 3

a = 392  ;  b = 99  ;  c  = – 97  ;  d = 2772  ;  e = – 2716  ;  f = 10193

Par contre, il existe d’autres paramétrages du type a^2+b^4=c^4+d^2

qui ne vérifient pas les égalités ci-dessus.

Exemple avec le paramétrage proposé par Daniel Perrin :

a = 8x² + 6x + 3    ;    b = 2x + 2    ;    c = 2x    d = 8x² + 10x + 5

Exemple  x = 2   47^2+6^4=4^4+57^2

Ou encore avec 2 inconnues ( p et q )

a = (4q^2-p^2)(4q^2+p^2)(5qp^2-4q^3-p^3)^2

b = 4p(5p^2-4q^2)q^2-4qp^4

c = (p-q)(p^2-4q^2)(p^2-4pq-4q^2)

d = 4qp(p^2+4q^2)(5qp^2-4q^3-p^3)^2

Exemple     p = 2   et   q = 3         pgcd = (2^6)(7)

(-3)^4+(20)^2=(4)^4+(15)^2.

 

 

 

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