identité du mois de Mai 2023

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Posté le : lundi 1 mai 2023 par Vincent Thill

parcours maths 24

Remarque : Il y a 2 possibilités de réaliser ce parcours.

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter à l’identité du mois de Janvier 2022

_____________________________________________

Si a, b, c sont des réels quelconques et n un entier naturel :

Posons $a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)=k_n(a-b)(b-c)(c-a)$

$k_n$ est un polynôme à 3 variables : p, q, r

avec p = a + b + c ; q = ab + bc + ca ; r = abc ( 1 )

En effet : On vérifie que c’est vrai pour n = 1, 2, 3 :

$a^1(b-c)+b^1(c-a)+c^1(a-b)=0$ $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)$ $a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-p(a-b)(b-c)(c-a)$

Donc $k_1=0$ et $k_2=-1$ et $k_3=-p$

Ensuite on fait un raisonnement par récurrence :

D’après ( 1 ) : a, b, c sont les racines du polynôme $x^3-px^2+qx-r$

Donc $a^3=pa^2-qa+r$ et $b^3=pb^2-qb+r$ et $c^3=pc^2-qc+r$

On en déduit :

$a^n=pa^{(n-1)}-qa^{(n-2)}+ra^{(n-3)}$ ( 2 )

$b^n=pb^{(n-1)}-qb^{(n-2)}+rb^{(n-3)}$ ( 3 )

$c^n=pc^{(n-1)}-qc^{(n-2)}+rc^{(n-3)}$ ( 4 )

En multipliant ( 2 ) par ( b – c ) ; ( 3 ) par ( c – a ) et ( 4 ) par ( a – b )

puis en divisant par ( a – b)( b – c )( c – a ) , on obtient :

$k_n=pk_{(n-1)}-qk_{(n-2)}+rk_{(n-3)}$ ( 5 )

Donc si $k_{(n-1)}$ ainsi que $k_{(n-2)}$ et $k_{(n-3)}$

sont des polynômes à 3 variables p, q, r

Il en sera de même pour $k_n$

De plus ( 5 ) fournit l’algorithme de calcul des $k_n$

$k_1=0$ ainsi que $k_2=-1$ et $k_3=-p$ , puis

$k_4=pk_3-qk_2+rk_1=-p^2+q$ et

$k_5=pk_4-qk_3+rk_2=-p^3+2pq-r$ et

$k_6=pk_5-qk_4+rk_3=-p^4+3p^2q-2pr-q^2$ et

$k_7=pk_6-qk_5+rk_4=-p^5+4p^3q-3p^2r-3pq^2+2qr$ et

etc …

Exemple numérique : a = 2 ; b = 3 ; c = 5 et n = 4

p = 10 ; q = 31 et r = 30

( 16 )( – 2 ) + ( 81 )( 3 ) + ( 625 )( – 1 ) = – 414

$k_4$ = – 100 + 31 = – 69 et

( a – b )( b – c )( c – a ) = ( – 1 )( – 2 )( 3 ) = 6 et ( 6 )( – 69 ) = – 414

Remarque : A propos du polynôme $x^3-px^2+qx-r$

On remplace ( p, q, r ) par ( t, u, v ) pour avoir $x^3-tx^2+ux-v$

Les valeurs de ( p, q, r ) sont toujours les mêmes

p = a + b + c ; q = ab + bc + ca et r = abc

On pose t = $p^2-2q$ ainsi que $u=p^3-3pq+3r$ et

$v=p^5-5qp^3+5rp^2+5pq^2-5qr$ , on obtient, $x^3-tx^2+ux-v$ =

$x^3-x^2(a^2+b^2+c^2)+x(a^3+b^3+c^3)-(a^5+b^5+c^5)$

Généralisation avec t = ( p² + nq ), n entier, $x^3-tx^2+ux-v$ =

$x^3-x^2[q(2-n)+a^2+b^2+c^2]+x(a^3+b^3+c^3)-(a^5+b^5+c^5)$

On retrouve des polynômes du type $x^3-Ax^2+Bx-C$ .

Tags: algorithme

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