Remarque : Il y a 2 possibilités de réaliser ce parcours.
Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter à l’identité du mois de Janvier 2022
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Si a, b, c sont des réels quelconques et n un entier naturel :
Posons
est un polynôme à 3 variables : p, q, r
avec p = a + b + c ; q = ab + bc + ca ; r = abc ( 1 )
En effet : On vérifie que c’est vrai pour n = 1, 2, 3 :
Donc et
et
Ensuite on fait un raisonnement par récurrence :
D’après ( 1 ) : a, b, c sont les racines du polynôme
Donc et
et
On en déduit :
( 2 )
( 3 )
( 4 )
En multipliant ( 2 ) par ( b – c ) ; ( 3 ) par ( c – a ) et ( 4 ) par ( a – b )
puis en divisant par ( a – b)( b – c )( c – a ) , on obtient :
( 5 )
Donc si ainsi que
et
sont des polynômes à 3 variables p, q, r
Il en sera de même pour
De plus ( 5 ) fournit l’algorithme de calcul des
ainsi que
et
, puis
et
et
et
et
etc …
Exemple numérique : a = 2 ; b = 3 ; c = 5 et n = 4
p = 10 ; q = 31 et r = 30
( 16 )( – 2 ) + ( 81 )( 3 ) + ( 625 )( – 1 ) = – 414
= – 100 + 31 = – 69 et
( a – b )( b – c )( c – a ) = ( – 1 )( – 2 )( 3 ) = 6 et ( 6 )( – 69 ) = – 414
Remarque : A propos du polynôme
On remplace ( p, q, r ) par ( t, u, v ) pour avoir
Les valeurs de ( p, q, r ) sont toujours les mêmes
p = a + b + c ; q = ab + bc + ca et r = abc
On pose t = ainsi que
et
, on obtient,
=
Généralisation avec t = ( p² + nq ), n entier, =
On retrouve des polynômes du type .