identité du mois de Mai 2023

Posté le : lundi 1 mai 2023 par Vincent Thill

parcours maths 24

Remarque : Il y a 2 possibilités de réaliser ce parcours.

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter à l’identité du mois de Janvier 2022

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Si  a, b, c  sont des réels quelconques et  n  un entier naturel :

Posons a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)=k_n(a-b)(b-c)(c-a)

k_n est un polynôme à 3 variables : p, q, r

avec  p = a + b + c  ;  q = ab + bc + ca  ;  r = abc    ( 1 )

En effet : On vérifie que c’est vrai pour n = 1, 2, 3 :

a^1(b-c)+b^1(c-a)+c^1(a-b)=0 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a) a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=-p(a-b)(b-c)(c-a)

Donc      k_1=0  et  k_2=-1  et  k_3=-p

Ensuite on fait un raisonnement par récurrence :

D’après  ( 1 )  :  a, b, c  sont les racines du polynôme  x^3-px^2+qx-r

Donc  a^3=pa^2-qa+r  et  b^3=pb^2-qb+r  et  c^3=pc^2-qc+r

On en déduit :

a^n=pa^{(n-1)}-qa^{(n-2)}+ra^{(n-3)}            ( 2 )

b^n=pb^{(n-1)}-qb^{(n-2)}+rb^{(n-3)}              ( 3 )

c^n=pc^{(n-1)}-qc^{(n-2)}+rc^{(n-3)}             ( 4 )

En multipliant  ( 2 )  par  ( b – c )  ;  ( 3 )  par  ( c – a )  et  ( 4 )  par  ( a – b )

puis en divisant par ( a – b)( b – c )( c – a ) , on obtient :

k_n=pk_{(n-1)}-qk_{(n-2)}+rk_{(n-3)}            ( 5 )

Donc si k_{(n-1)} ainsi que k_{(n-2)} et k_{(n-3)}

sont des polynômes à  3  variables  p, q, r

Il en sera de même pour k_n

De plus  ( 5 )  fournit l’algorithme de calcul des k_n

k_1=0  ainsi que  k_2=-1  et  k_3=-p  , puis

k_4=pk_3-qk_2+rk_1=-p^2+q  et

k_5=pk_4-qk_3+rk_2=-p^3+2pq-r  et

k_6=pk_5-qk_4+rk_3=-p^4+3p^2q-2pr-q^2  et

k_7=pk_6-qk_5+rk_4=-p^5+4p^3q-3p^2r-3pq^2+2qr  et

etc …

Exemple numérique :    a = 2  ;  b = 3  ;  c = 5  et  n = 4

p = 10  ;  q = 31  et  r = 30

( 16 )( – 2 ) + ( 81 )( 3 ) + ( 625 )( – 1 ) = – 414

k_4 = – 100 + 31 = – 69    et

( a – b )( b – c )( c – a ) = ( – 1 )( – 2 )( 3 ) = 6    et    ( 6 )( – 69 ) = – 414

Remarque : A propos du polynôme x^3-px^2+qx-r

On remplace ( p, q, r )  par  ( t, u, v )  pour avoir x^3-tx^2+ux-v

Les valeurs de ( p, q, r ) sont toujours les mêmes

p = a + b + c  ;  q = ab + bc + ca    et    r = abc

On pose    t = p^2-2q ainsi que u=p^3-3pq+3r  et

v=p^5-5qp^3+5rp^2+5pq^2-5qr , on obtient,  x^3-tx^2+ux-v =

x^3-x^2(a^2+b^2+c^2)+x(a^3+b^3+c^3)-(a^5+b^5+c^5)

Généralisation  avec  t = ( p² + nq ),    n entier,  x^3-tx^2+ux-v =

x^3-x^2[q(2-n)+a^2+b^2+c^2]+x(a^3+b^3+c^3)-(a^5+b^5+c^5)

On retrouve des polynômes du type x^3-Ax^2+Bx-C.

 

 

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