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identité du mois de Janvier 2023

Posté le : dimanche 1 janvier 2023 par Vincent Thill

Une petite grille de jeux pour commencer l’année

parcours maths 8

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 »  identité du mois de janvier 2022  »

_______________________________________________

1*1! + 2*2! + 3*3! + 4*4! + … + 2021*2021! + 2022*2022! = a! – b!

Que vaut    a*b = ?

a et b  sont des entiers relatifs. Solution de Richard Pennington :

k*k! = ( k! )[( k + 1 ) – 1 ] = ( k + 1 )! – k!

Avec

1*1! + 2*2! + … + 2022*2022! =

( 2! – 1! ) + ( 3! – 2! ) + ( 4! – 3! ) + … Somme télescopique … + ( 2022! – 2021! ) + ( 2023! – 2022! )

= 2023! – 1!    avec   a*b = 2023

Si l’année 2023 nous réserve bien des problèmes en voici toujours 1 de résolu ! …

___________________________________________________

a = 68              b = 44             c = 119            d = 107                     n = 1

a = 176            b = 136           c = 323            d = 303                     n = 2

a = 334            b = 278           c = 627            d = 599                     n = 3

a = 542            b = 470           c = 1031          d = 995                     n = 4

a = 800            b = 712           c = 1535          d = 1491                   n = 5

a = 1108          b = 1004         c = 2139          d = 2087                   n = 6

a = 1466          b = 1346         c = 2843          d = 2783                   n = 7

a = 1874          b = 1738         c = 3647          d = 3579                   n = 8

etc …

colonne   » a  »

u_{(n+2)}=2u_{(n+1)}-u_n+50  avec  u_1=68

colonne   » b  »

v_{(n+2)}=2v_{(n+1)}-v_n+50  avec  v_1=44

colonne   » c  »

w_{(n+2)}=2w_{(n+1)}-w_n+100  avec  w_1=119

colonne   » d  »

t_{(n+2)}=2t_{(n+1)}-t_n+100  avec  t_1=107

Tous ces quadruplets  ( a, b, c, d )  vérifient les relations suivantes :

a – b = 2( c – d )

c + d = 2( 1 + a + b )

5a + 3b + 4 = 4c

Et pour  n > 0

(a-b)^2=(c-d)^2+(2^2-1)(2^4)(2n+1)^2

 

(a-b)^4=(c-d)^4+(2^4-1)(2^8)(2n+1)^4

 

(a-b)^8=(c-d)^8+(2^8-1)(2^{(16)})(2n+1)^8

 

(a-b)^{(16)}=(c-d)^{(16)}+(2^{(16)}-1)(2^{(32)})(2n+1)^{(16)}

etc …

Comme  ( a – b ) = 2( c – d ) , on a la généralisation suivante :

 

(c-d)^{(2^n)}=(2^{2^{(n+1)}})(2n+1)^{(2^n)} .

 

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