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identité du mois de juillet 2022

Posté le : vendredi 1 juillet 2022 par Vincent Thill

Il y a 1 an paraissait le numéro  200  du magazine Tangente, à cette occasion Nicolas Navarro

a réalisé cette magnifique spirale :

Pour l’utilisation de ce dessin, se reporter aux conditions exposées dans

 » identité du mois de janvier 2022  »

_________________________________________________________

Michel Marcus a publié sur le site  OEIS.org  la suite  A108369

( https://oeis.org/A108369 ), en référence à l’identité du mois d’Avril 2021

que j’ai posté sur mon blog dont le titre est : Radicaux et Ramanujan.

Dans cette publication, il est question de 3 suites, on les notera  u_n,v_n,w_n

On définit la suite u_n tel que

u_{(n+3)}=-3u_{(n+2)}-3u_{(n+1)}+u_n

avec  u_n=0 ; u_{(n+1)}=1 ; u_{(n+2)}=-3   et    n > 0

0, 1, – 3, 6, – 8, 3, 21, – 80, 180, – 279, 217, 366, …

On définit la suite v_n tel que

v_n=u_n+u_{(n+1)}  et

v_{(n+3)}=-3v_{(n+2)}-3v_{(n+1)}+v_n

avec  v_n=1 ; v_{(n+1)}=-2 ; v_{(n+2)}=3    et    n > 0

1, – 2, 3, – 2, – 5, 24, – 59, 100, – 99, – 62, 583, – 1662, …

On définit la suite w_n tel que

w_n=v_n+v_{(n+1)}  et

w_{(n+3)}=-3w_{(n+2)}-3w_{(n+1)}+w_n

avec  w_n=- 1 ; w_{(n+1)}=1 ; w_{(n+2)}=1    et    n > 0

– 1, 1, 1, – 7, 19, – 35, 41, 1, – 161, 521, – 1079, 1513, …

Relation avec les cubes    2(x^3+z^3)=(y^3+t^3)

2[(u_{(n+1)})^3+z^3]=[(u_{(n+1)}+u_{(n+2)})^3+t^3]

Pour trouver  z  et  t , on peut utiliser un petit programme informatique pour commencer la suite.

Voici quelques exemples obtenus de cette manière :

2[1^3+3^3]=[(-2)^3+4^3] .

2[(-3)^3+12^3]=[3^3+15^3] .

2[6^3+46^3]=[(-2)^3+58^3] .

2[(-8)^3+177^3]=[(-5)^3+223^3] .

2[3^3+681^3]=[24^3+858^3] .

etc …

On a généré ainsi 2 autres suites correspondantes aux valeurs de  z  et  t.

On définit la suite p_n qui correspond aux valeurs de  z.

p_{(n+3)}=3p_{(n+2)}+3p_{(n+1)}+p_n

avec    p_n=3 ; p_{(n+1)}=12 ; p_{(n+2)}=46    et    n > 0

3, 12, 46, 177, 681, 2620, …

On définit la suite q_n qui correspond aux valeurs de  t.

q_{(n+3)}=3q_{(n+2)}+3q_{(n+1)}+q_n

avec    q_n=4 ; q_{(n+1)}=15 ; q_{(n+2)}=58    et    n > 0

4, 15, 58, 223, 858, 3301, …

et p_n+p_{(n+1)}=q_{(n+1)} .

 

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