identité du mois de décembre 2021

Posté le : mercredi 1 décembre 2021 par Vincent Thill

Une fois n’est pas coutume, nous allons reprendre l’identité du mois de juillet afin de la compléter en utilisant la méthode suivante :

Introduction d’un paramètre supplémentaire  »z » dans un paramétrage

[z(-2x^2-9x-4)+xy]^6+[z(2x+2+x^2)-4xy-2y)]^6 +

[z(6x^2+7x+2)+xy+2y]^6=[z(6x^2+7x+2)-xy-2y]^6 +

[z(2x+2+x^2)+4xy+2y]^6+[z(-2x^2-9x-4)-xy]^6

Lorsque    y² = ( z² )( 3x² + 6x + 1 ) ,    exemple    x = 10  ,  y = 95  et  z = 5    PGCD = 20

(26)^6+(13)^{12}+(15)^{12}=(111)^6+(230)^6+(11)^{12}

Ce qui représente le même résultat numérique proposé dans l’identité du mois de juillet avec  z = 1.

En fait, quelque soit  »z » entier naturel, le résultat numérique sera toujours le même, ici le PGCD = 4z.

Autres exemples de paramétrages avec la même condition :

(-8702x^2-3199x-294+11xy+2y)^6+(6001x^2+2202x+202+76xy+14y)^6 +

(3306x^2+1217x+112-109xy-20y)^6=(3306x^2+1217x+112+109xy+20y)^6 +

(6001x^2+2202x+202-76xy-14y)^6+(-8702x^2-3199x-294-11xy-2y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1 ,    exemple    x = 2  et  y = 5      PGCD = 20

(2069)^6+(1472)^6+(729)^6=(848)^6+(1389)^6+(2081)^6

_________________________________________

(-2530x^2-955x-90+13xy+2y)^6+(1733x^2+634x+58+92xy+18y)^6 +

(966x^2+373x+36-131xy-24y)^6=(966x^2+373x+36+131xy+24y)^6 +

(1733x^2+634x+58-92xy-18y)^6+(-2530x^2-955x-90-13xy-2y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1 ,    exemple    x = 2  et  y = 5    PGCD = 4

[2995)^6+(2317)^6+(804)^6=(1519)^6+(1812)^6+(3065)^6

_______________________________________________

(2530x^2+9165x+8300+13xy+24y)^6+(1733x^2+6298x+5722-92xy-166y)^6 +

(966x^2+3491x+3154+131xy+238y)^6 =

(966x^2+3491x+3154-131xy-238y)^6 +

(1733x^2+6298x+5722+92xy+166y)^6+(2530x^2+9165x+8300-13xy-24y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1 ,    exemple   x = 2  et  y = 5    PGCD = 500

(74)^6+(47)^6+(33)^6=(23)^6+(54)^6+(73)^6

____________________________________________

(-92x^2-39x-4-xy)^6+(61x^2+22x+2-8xy-2y)^6 +

(36x^2+17x+2+11xy+2y)^6=(36x^2+17x+2-11xy-2y)^6 +

(61x^2+22x+2+8xy+2y)^6+(-92x^2-39x-4+xy)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1 ,         exemple    x = 2  et  y = 5      PGCD = 20

(23)^6+(10)^6+(15)^6 = (3)^6+(19)^6+(22)^6

Ce résultat numérique est la plus petite solution de ce type d’équation, ceci

à partir du couple ( x, y ) = ( 2, 5 ) qui est la plus petite solution entière à

l’équation d’hyperbole    y² = 3x² + 6x + 1 .

Un résultat équivalent a déjà été présenté à partir d’un autre paramétrage

dans l’identité du mois de Juin 2011, également publié par Michel CRITON

dans la revue Tangente n° 144 .

Reprenons ce paramètre  »z » dans cette équation

[z(-92x^2-39x-4)-xy]^6+[z(61x^2+22x+2)-8xy-2y)^6 +

[z(36x^2+17x+2)+11xy+2y]^6=[z(36x^2+17x+2)-11xy-2y]^6 +

[z(61x^2+22x+2)+8xy+2y]^6+[z(-92x^2-39x-4)+xy]^6

Lorsque    y² = ( z² )( 3x² + 6x + 1 ),    ici le  PGCD = 20z

Remarque : Dans les identités du mois de Juillet et Décembre, tous les

exemples peuvent convenir avec ce paramètre supplémentaire .

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