identité du mois d’octobre 2021

Posté le : vendredi 1 octobre 2021 par Vincent Thill

6^{(18)}-6^{(15)}-684288^2-(215^2)(6^{(12)})+15552^2 = 0 ,

6^{(21)}-6^{(18)}-684288^2-(215^2)[6^{(12)}+6^{(15)}]+15552^2 = 0 ,

6^{(24)}-6^{(21)}-684288^2-(215^2)[6^{(12)}+6^{(15)}+6^{(18)}]+15552^2 = 0 ,

etc …

généralisation

6^{(6+3n)}-6^{(3+3n)}-684288^2-a(215^2)+15552^2 = 0  avec

a =\sum_{k=4}^n (216^k)\                                                     ou, autre notation

a =[216^{(n+1)}-2176782336]/(215)]

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équation diophantienne du type : A^n+A^k = somme de 3 carrés , quelques exemples

481^4+481^6 = 31358689^2+62648191^2+86464800^2 19208^6+19208^8 = 96094481367134208^2+32662541189390336^2+90709595695398400^2 422481^8+422481^{(10)} = 11568131886385272983936463599^2+366944261839595468880400321^2+6870781949037660416159795200^2

 

33^8+33^{(10)} = 39134881^2+1202305^2+30752^2 33^8+33^{(10)} = 9704993^2+35809921^2+12507920^2 33^{(16)}+33^{(20)} = 480957026595649^2+1399494337962241^2+394755750646880^2

 

3^{(32)}+3^{(40)} = 2923383185^2+1898956609^2+85516256^2 3^{(48)}+3^{(60)} = 72572384507449^2+186685541664481^2+47675943430640^2

Ces exemples ont été trouvés à partir du paramétrage suivant :

(1+d^2)(a^4+b^4+c^4)^2 = (da^4-db^4+dc^4+2a^2b^2)^2+(2da^2b^2-a^4+b^4+c^4)^2+(2a^2c^2-2db^2c^2)^2

quelque soit  ( a, b, c, d )  entiers naturels.

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Problème posé par Geoffrey Campbell

13^4+5^4 = 2(6^5+2^8+3^8) et

35^4+19^4 = 2(6^7+2^{12}+3^{12})

Trouver d’autres solutions du même type et si possible généraliser.

97^4+65^4 = 2(6^9+2^{16}+3^{16}) ,

275^4+211^4 = 2( 6^{11}+2^{20}+3^{20}) ,

793^4+665^4 = 2(6^{13}+2^{24}+3^{24}) ,

2315^4+2059^4 = 2(6^{15}+2^{28}+3^{28}) ,

6817^4+6305^4 = 2(6^{17}+2^{32}+3^{32}) ,

20195^4+19171^4 = 2(6^{19}+2^{36}+3^{36}) ,

60073^4+58025^4 = 2(6^{21}+2^{40}+3^{40}) ,

etc …

généralisation

y^4+x^4 = 2[6^{(5+2n)}+2^{(8+4n)}+3^{(8+4n)}]    avec

y = [x + 8(2^n)] ,  quelque soit  n  entier naturel ou nul, on a les couples ( x, y ) suivants .

Le premier exemple numérique est donné pour  n = 0,  ainsi on peut déterminer

le couple ( x, y )  en fonction de  n.

n = 0 ;  couple  ( x, y ) = ( 5, 13 )

n = 1 ;       »              »      = ( 19, 35 )

n = 2 ;      »               »     = ( 65, 97 )

n = 3 ;      »               »     = ( 211, 275 )

n = 4 ;      »               »    = ( 665, 793 )

n = 5 ;      »               »    = ( 2059, 2315 )

n = 6 ;       »             »     = ( 6305, 6817 )

n = 7 ;       »             »     = ( 19171, 20195 )

n = 8 ;       »             »     = ( 58025, 60073 )

etc …

On note ( x_0, y_0 )  la solution pour  n = 0 , ( x_1, y_1 )  la solution pour  n = 1, etc …

On observe que  x_2 = ( x_0 )( y_0 ) , x_4 = ( x_1 )( y_1 ) , x_6 = ( x_2 )( y_2 ), x_8 = ( x_3 )( y_3 ), etc …

Ce qui permet de trouver une solution par rapport à une autre.

Remarque : 35^4 = 19^4+108^3+48^3 ,

793^4 = 665^4+5832^3+1152^3 , cette égalité peut s’écrire de cette façon :

[(19)(35)+128]^4 = [(19)(35)]^4+[(108)(54)]^3+[(48)(24)]^3 , ce qui permet de trouver d’autres égalités de la forme A^4 =B^4+C^3+D^3 .

535537^4 = 527345^4+17006112^3+663552^3 , qui peut s’écrire également

[(665)(793)+8192]^4 = [(665)(793)]^4+[(108)(54)^3]^3+[(48)(24)^3]^3 , ou encore

[(665)(793)[(665)(793)+8192]+33554432]^4=[(665)(793)[(665)(793)+8192]]^4+[(108)(54)^7]^3+[(48)(24)^7]^3

Autre notation

[(19)(35)+2^n]^4 = [(19)(35)]^4+(108)^3(54)^{(n-4)}+(48)^3(24)^{(n-4)}  pour  n = 7

[(665)(793)+2^k]^4 = [(665)(793)]^4 +

(108)^3(54)^{(k-4)}+(48)^3(24)^{(k-4)}   pour  k = 2n – 1

[(527345)(535537)+2^p]^4 = [(527345)(535537)]^4 +

(108)^3(54)^{(p-4)}+(48)^3(24)^{(p-4)}   pour  p = 2k – 1 ,       etc …

On peut poursuivre aussi en posant  x = ( 527345)(535537),  on part donc de

[x+2^{(25)}]^4 = x^4+[(108)(54)^7]^3+[(48)(24)^7]^3 [x^2+(x)(2^{(25)})+2^{(49)}]^4 = [x^2+(x)(2^{(25)})]^4+[(108)(54)^{(15)}]^3+[(48)(24)^{(15)}]^3

On pose  y = x^2+(x)(2^{(25)})

[y^2+(y)(2^{(49)})+2^{(97)}]^4 = [y^2+(y)(2^{(49)})]^4+[(108)(54^{(31)}]^3+[(48)(24)^{(31)}]^3

etc…

Autre possibilité pour résoudre l’équation A^4=B^4+C^3+D^3  en utilisant ce paramétrage :

(t^3+1)^4 = (t^3-1)^4+(2t^3)^3+(2t)^3 ,          équation ( 1 )

En posant  t = 2^n , on obtient l’équation 2^p+2^q = différence de 2 puissances 4.

On peut aussi utiliser l’algorithme suivant à partir de l’équation  ( 1 )

[(t^3+1)(t^3-1)+2]^4 = [(t^3-1)(t^3+1)]^4+[(2t^3)(t^3)]^3+[(2t)(t)]^3 , ce qui donne

(t^6+1)^4 = (t^6-1)^4+(2t^6)^3+(2t^2)^3  équivalent à l’équation ( 1 )  avec  t² = k

exemple numérique avec  t = 2  dans l’équation  ( 1 )

9^4 = 7^4+2^{(12)}+2^6 ,

[(9)(7)+2]^4 = [(9)(7)]^4+[(16)(8)]^3+[(4)(2)]^3 ,

(65)^4 = (63)^4+2^{(21)}+2^9 , on réitère le procédé

[(63)(65)+2]^4 = [(63)(65)]^4+[(128)(64)]^3+[(8)(4)]^3 ,

(4097)^4 = (4095)^4+2^{(39)}+2^{(15)}

etc  …

 

 

 

 

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