identité du mois d’Août 2021

Posté le : dimanche 1 août 2021 par Vincent Thill
8^n+10^n+(5k)^n+k^{(3n)} = (2^n+k^n)[4^n+5^n-(2k)^n+(k^2)^n]

quelque soit  k  et  n  entiers naturels.

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(x^n+1)^6+(x^n-1)^6 =

2[x^{(6n)}+x^{(4n+1)}+x^{(2n+1)}-(x-15)(x^{(2n)})-(x-15)(x^{(4n)})+1]

quelque soit  x  et  n  entiers naturels.

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Une question de Geoffrey Campbel :

3^8-3(2^8-1^8)=(\frac{7}{2})(3^6+3^6+3^4+3^4+3^3+3^2)\ 6^8-3(5^8-4^8)=(\frac{7}{2})(3^{11}+3^9+3^7+3^5+3^4+3^3)+3^8\ 15^8-3(14^8-13^8)=(\frac{7}{2})(3^{16}+3^{12}+3^{10}+3^6+3^5+3^4)+12^8\ 42^8-3(41^8-40^8)=(\frac{7}{2})(3^{21}+3^{15}+3^{13}+3^7+3^6+3^5)+39^8\

Il faut bien sûr trouver la suite et si possible une formule générale

123^8-3(122^8-121^8)=(\frac{7}{2})(3^{26}+3^{18}+3^{16}+3^8+3^7+3^6)+120^8\ 366^8-3(365^8-364^8)=(\frac{7}{2})(3^{31}+3^{21}+3^{19}+3^9+3^8+3^7)+363^8\

etc …

Ces 2 dernières formules ont également été trouvées par Louis-Pierre Regnault

généralisation:

(\frac{7}{2})(3^{(6+5n)}+3^{(6+3n)}+3^{(4+3n)}+3^{(4+n)}+3^{(3+n)}+3^{(2+n)})\ =

a^8-3[(a-1)^8-(a-2)^8]-(a-3)^8

avec a = 3[2+\frac{(3^n-3)}{2}]\

quelque soit  n  entier naturel ou nul

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