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identité du mois de juillet 2021

Posté le : jeudi 1 juillet 2021 par Vincent Thill

(-2x^2-9x-4+xy)^6+(x^2+2x+2-4xy-2y)^6+(6x^2+7x+2+xy+2y)^6 =

(-2x^2-9x-4-xy)^6+(x^2+2x+2+4xy+2y)^6+(6x^2+7x+2-xy-2y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

Pour trouver des solutions entières à l’équation d’hyperbole    y² = 3x² + 6x + 1 ,

il faut considérer que c’est une équation du second degré  ( ax² + bx + c )  qui

s’exprime de cette façon :   3x² + 6x + 1 – y² = 0

Le discriminant  \Delta\ = 36 – (4)(3)( 1 – y² ) = 24 + 12y² = (4)( 6 + 3y² )

Pour que \Delta\ soit un carré parfait, il faut que  6 + 3y² = t² .

En partant du couple de solutions ( y, t ) = ( 1, 3 ) et en appliquant l’algorithme développé dans l’identité du mois de juin 2021, on obtient les couples de solutions suivants:

( 5, 9 ) , ( 19, 33 ) , ( 71, 123 ) , ( 265, 459 ) , ( 989, 1713 ) , …

On remplace  y  par sa valeur dans \Delta\ on en déduit

x qui est égal à \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\ , ce qui permet de résoudre l’équation

y² = 3x² + 6x + 1  en nombres entiers naturels dont voici les couples ( x, y ) de solutions correspondants:

( 0, 1 ) , ( 2, 5 ) , ( 10, 19 ) , ( 40, 71 ) , ( 152, 265 ) , ( 570, 989 ) , …

La relation entre l’équation de Pell  t² = 3y² + 6  et l’équation d’hyperbole

y² = 3x² + 6x + 1  est celle-ci:

t = 3x + 3

exemple numérique :    x = 10  et  y = 19,     pgcd = 4

(-26)^6+(-13)^{12}+(15)^{12} = (111)^6+(230)^6+(11)^{12}

Autres exemples de paramétrage du même type avec la même condition.

(-2x^2+x+6+xy+2y)^6+(x^2+2x+2-4xy-6y)^6+(6x^2+17x+12+xy)^6 =

(-2x^2+x+6-xy-2y)^6+(x^2+2x+2+4xy+6y)^6+(6x^2+17x+12-xy)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

exemple numérique :    x = 10  et  y = 19,     pgcd = 4

( 11 )^6 + ( -188 )^6 + ( 243 )^6 = ( 148)^6 + ( 249 )^6 + ( -103 )^6

__________________________________________

(-40x^2-125x-90-xy+2y)^6+(17x^2+62x+58+16xy+18y)^6 +

(24x^2+59x+36-13xy-24y)^6 =

(-40x^2-125x-90+xy-2y)^6+(17x^2+62x+58-16xy-18y)^6 +

(24x^2+59x+36+13xy+24y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

(44x^2-13x-6+13xy+2y)^6+(17x^2+6x+2-40xy-10y)^6 +

(108x^2+59x+8+xy+4y)^6 =

(44x^2-13x-6-13xy-2y)^6+(17x^2+6x+2+40xy+10y)^6 +

(108x^2+59x+8-xy-4y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

(-94x^2-59x-6-xy+2y)^6+(53x^2+18x+2-20xy-10y)^6 +

(42x^2+37x+8+23xy+4y)^6 =

(-94x^2-59x-6+xy-2y)^6+(53x^2+18x+2+20xy+10y)^6 +

(42x^2+37x+8-23xy-4y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

(-92x^2-329x-294+xy+2y)^6+(61x^2+222x+202+8xy+14y)^6 +

(36x^2+127x+112-11xy-20y)^6 =

(-92x^2-329x-294-xy-2y)^6+(61x^2+222x+202-8xy-14y)^6 +

(36x^2+127x+112+11xy+20y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

(208x^2+71x+6+11xy+2y)^6+(61x^2+22x+2-32xy-6y)^6 +

(336x^2+127x+12-xy)^6 =

(208x^2+71x+6-11xy-2y)^6+(61x^2+22x+2+32xy+6y)^6 +

(336x^2+127x+12+xy)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

(8702x^2+31609x+28704+11xy+20y)^6 +

(6001x^2+21802x+19802-76xy-138y)^6 +

(3306x^2+12007x+10902+109xy+198y)^6 =

(8702x^2+31609x+28704-11xy-20y)^6 +

(6001x^2+21802x+19802+76xy+138y)^6 +

(3306x^2+12007x+10902-109xy-198y)^6

Lorsque    y² = 3x² + 6x + 1

Pour information: Un évènement à ne pas manquer,

la nuit des maths le samedi 3 juillet 2021, voir le site

( www.nuitdesmaths.org/edition-2021 )

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