identité du mois de juin 2021

Posté le : mardi 1 juin 2021 par Vincent Thill

\sum\[(3x+2y)(4x+3y)] + \sum\[(2x+y)^2-2] + \sum\(6x^2+3xy+14) = \sum\(4x+3y)^2

Lorsque    y² = 3x² + 6

\sum\[(3x+y)(4x+2y)] + \sum\[(2x+y)^2-1] + \sum\(3x^2+2xy+7) = \sum\(4x+2y)^2

Lorsque    y² = 3x² + 6

\sum\[(6x+3y)(9x+4y)] + \sum\[(3x+2y)^2-2] + \sum\(6y^2+9xy-34) = \sum\(9x+4y)^2

Lorsque    y² = 3x² + 6

\sum\[(6x+4y)(3x+3y)] + \sum\[(3x+2y)^2-1] + \sum\(3y^2+6xy-17) = \sum\(6x+4y)^2

Lorsque    y² = 3x² + 6

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\sum\[(3x+3y)(6x+4y)] + \sum\[(3x+2y)^2-1] + \sum\(3y^2+6xy+7) = \sum\(6x+4y)^2

Lorsque    y² = 3x² – 2

\sum\[(6x+3y)(9x+4y)] + \sum\[(3x+2y)^2-2] + \sum\(6y^2+9xy+14) = \sum\(9x+4y)^2

Lorsque    y² = 3x² – 2

\sum\[(3x+2y)(4x+3y)] + \sum\[(2x+y)^2-2] + \sum\(6x^2+3xy-2) = \sum\(4x+3y)^2

Lorsque    y² = 3x² – 2

\sum\[(3x+y)(4x+2y)] + \sum\[(2x+y)^2-1] + \sum\(3x^2+2xy-1) = \sum\(4x+2y)^2

Lorsque    y² = 3x² – 2

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La relation entre les 2 équation de Pell    y² = 3x² + 6    et    y² = 3x² – 2

est la suivante :

Couples de solutions  (x_2,y_2)  pour  (y_2)^2 = 3(x_2)^2+6

( 1 , 3 ), ( 5 , 9 ), ( 19 , 33 ), ( 71 , 123 ), ( 265 , 459 ), ( 989 , 1713 ), …

Couples de solutions  (x_1,y_1)  pour  (y_1)^2 = 3(x_1)^2 - 2

( 1 , 1 ), ( 3 , 5 ), ( 11 , 19 ), ( 41 , 71 ), ( 153 , 265 ), ( 571 , 989 ), …

On a  x_2 = y_1   et   y_2 = 3x_1

Cela se démontre avec ces 2 algorithmes :

Toutes les solutions de  (y_2)^2 = 3(x_2)^2 + 6  sont également solutions de

(2y_2+3x_2)^2 = 3(2x_2+y_2)^2+6.

Toutes les solutions de  (y_1)^2 = 3(x_1)^2 - 2  sont également solutions de

(3x_1+2y_1)^2 = 3(2x_1+y_1)^2-2.

Remarque: On peut généraliser les 2 dernières équations de cette façon

\sum\[(4x+2y)(3x+y)] + \sum\[(2x+y)^2-a+2] + \sum\(ax^2+2xy-1) = \sum\(4x+2y)^2

Lorsque    y² = ax² – a + 1      ou  encore

\sum\[(3x+2y)(4x+3y)] + \sum\[(2x+y)^2-a+1] + \sum\(2ax^2+3xy-a+1) =

\sum\(4x+3y)^2

Lorsque    y² = ax² – a + 1,           ici    a = 3

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