identité du mois d’avril 2021

Posté le : jeudi 1 avril 2021 par Vincent Thill

C’est un problème de Ramanujan dans lequel il faut trouver

les paramètres ( a, b, c ) en fonction de n.

Soit  k = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\\\\\\

\sqrt[3]{-1+\sqrt[3]{2}}\\ = k

\sqrt[6]{1-2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[9]{1+3\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{12}]{-7-2\sqrt[3]{2}+6\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{15}]{19-5\sqrt[3]{2}-8\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{18}]{-35+24\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{21}]{41-59\sqrt[3]{2}+21\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{24}]{1+100\sqrt[3]{2}-80\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{72}]{-143999-4761300\sqrt[3]{2}+3869760\sqrt[3]{4}}\\\ = k

\sqrt[{96}]{1535616001-638322800\sqrt[3]{2}-460740320\sqrt[3]{4}}\\\ = k

etc …

 

formule générale :

\sqrt[3n]{a_n +(b_n)\sqrt[3]{2} + (c_n)\sqrt[3]{4}}\\\ = k

avec  n > 0    et    ( a, b, c )    entiers relatifs

n = 1  alors   (a_1 , b_1 , c_1)   donnent   [ – 1, 1, 0 ]

n = 2  alors  (a_2 , b_2 , c_2)  donnent   [ 1, – 2, 1 ]

n = 3  alors  (a_3 , b_3 , c_3)  donnent   [ 1, 3, – 3 ]

n = 4  alors  (a_4 , b_4 , c_4)  donnent   [ – 7, – 2, 6 ]

n = 5  alors  (a_5 , b_5 , c_5)  donnent   [ 19, – 5, – 8 ]

n = 6  alors  (a_6 , b_6 , c_6)  donnent   [ – 35, 24, 3 ]

n = 7  alors  (a_7 , b_7 , c_7)  donnent   [ 41, – 59, 21 ]

n = 8  alors  (a_8 , b_8 , c_8)  donnent   [ 1, 100, – 80 ]

n = 9  alors  (a_9 , b_9 , c_9)  donnent   [ – 161, – 99, 180 ]

n = 10  alors  (a_{(10)} , b_{(10)} , c_{(10)})  donnent  [ 521, – 62, – 279 ]

n = 11  alors  (a_{(11)} , b_{(11)} , c_{(11)})  donnent  [ – 1079, 583, 217 ]

n = 12  alors  (a_{(12)} , b_{(12)} , c_{(12)})  donnent  [ 1513, – 1662, 366 ]

etc …

Plusieurs relations qui nous permettent de trouver d’autres exemples :

avec    n > 1

a_{(n-1)}-b_n = b_{(n-1)}

et  c_n+c_{(n-1)} = b_{(n-1)}

et  a_n+a_{(n-1)} = 2c_{(n-1)}

d’où ceci  a_n+2b_n+2c_n = a_{(n-1)}

ou encore cela  a_n+b_n+c_n = c_{(n-1)}.

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