identité du mois de mars 2021

Posté le : lundi 1 mars 2021 par Vincent Thill

\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\   et   \psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\    ;

72(\sqrt{5})[-322(\psi)^{(2n)}-(\psi)^n]+51841(\psi)^{(2n)}+161(\psi)^n\\\\\ =

(\psi)^{(24+2n)}+(\psi)^{(12+n)}\\      équation (1)

72(\sqrt{5})[-322(\psi)^{(2n)}+(\phi)^n]+51841(\psi)^{(2n)}+161(\phi)^n\\\\\ =

(\psi)^{(24+2n)}+(\phi)^{(12+n)}\\     équation (2)

L’addition membre à membre de  (1)  et  (2)  nous donne

72(\sqrt{5})(\phi)^n+161(\phi)^n+(\psi)^{(n+12)}\\\\ =

-72(\sqrt{5})(\psi)^n+161(\psi)^n+(\phi)^{(n+12)}\\\\

ou encore

161[(\phi)^n-(\psi)^n]+72(\sqrt{5})[(\phi)^n+(\psi^n] = (\phi)^{(n+12)}-(\psi)^{(n+12)}\\\\\\\

En simplifiant par \sqrt{5}\, et en utilisant la formule de Binet :

F_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{(2^n)(\sqrt{5})}\\\\

On obtient la formule suivante :

161(F_n)+72[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] = F_{(n+12)}\\\\

F_n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, etc …

_______________________________________________________________

généralisation sur les équations (1)  et  (2).

(72^{(1+k-2n)})(\sqrt{5})[-322(72^{(2n-k)})(\psi)^{(2n)}+(72^{(2n-k)})(\phi)^n]\\\ +

51841(\psi)^{(2n)}+161(\phi)^n = (\psi)^{(24+2n)}+(\phi)^{(12+n)}\\\\

également ceci :

(72^{(1+k+2n)})(\sqrt{5})[-322(72^{(2n-k)})(\psi^{(2n)}-(72^{(2n-k)})(\psi)^n]\\\ +

51841(\psi)^{(2n)}+161(\psi)^n = (\psi)^{(24+2n)}+(\psi)^{(12+n)}\\\\
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