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a = 2( x² + xy – y² + z )

b = ( x² – 4xy – y² )² + 5xy + z

c = ( x² – 4xy – y² )² + 2x² – 3xy – 2y² + z

n = ( x² – 4xy – y² )² + 5( x² + xy – y² + z )

 

Lorsque   y² = x² + xy – 1 + z   et   si   z = k² – k  alors  y² = x² + xy – 1 – k + k²

si   z = – k² + k + 2  alors  y² = x² + xy + 1 + k – k²

On retrouve la formule proposée par Michel Lafond dans l’identité du mois

d’août 2020 .

,    exemples numériques :

k = 2 ; z = 2 ; x = 1  et  y = 2  alors  a = 2 ; b = 133 ; c = 111 ; n = 126

k = 2 ; z = 0 ; x = 2  et  y = 3  alors  a = 2 ; b = 871 ; c = 813 ; n = 846

 

k = 3 ; z = 6 ; x = 1  et  y = 3  alors  a = 2 ; b = 421 ; c = 381 ; n = 405

k = 3 ; z = – 4 ; x = 3  et  y = 4  alors  a = 2 ; b = 3081 ; c = 2971 ; n = 3030

 

k = 4 ; z = 12 ; x = 1  et  y = 4  alors  a = 2 ; b = 993 ; c = 931  ;  n = 966

k = 4 ; z = – 10 ; x = 4  et  y = 5  alors  a = 2 ; b = 8011 ; c = 7833 ; n = 7926

etc, …

On note que   »a »  est toujours égal à  2  ,  d’autre part  ( n – 5 ) est toujours

un carré parfait  ( n – 5 ) = p²   avec   p = x² – 4xy – y²   et  en donnant une

valeur  à   »k »  on a  2  solutions entière à cette équation.

généralisation

a = 2( x² + xy – y² + z )

b = ( x² – xyt – y² )² + xy( 1 + t ) + z

c = ( x² – xyt – y² )² + 2x² + xy( 1 – t ) – 2y² + z

n = ( x² – xyt – y² )² + 5( x² + xy – y² + z )

 

Lorsque  y² = x² + xy – 1 + z  et  si  z = k² – k  alors  y² = x² + xy – 1 – k + k²

si  z = – k² + k + 2  alors  y² = x² + xy + 1 + k – k²

exemple   k = 2  et  z = 2  ; x = 1  et  y = 2  alors

a = 2 ; b = ( – 3 – 2t )² + 2t + 4 ; c = ( – 3 – 2t )² – 2 – 2t ; n = ( – 3 – 2t )² + 5

avec  k = 2  et  z = 0  ;  x = 2  et  y = 3   alors

a = 2 ; b = ( – 5 – 6t )² + 6t + 6 ; c = ( – 5 – 6t )² – 4 – 6t ; n = ( – 5 – 6t )² + 5 .

Je viens d’apprendre une triste nouvelle .

Je voudrais rendre hommage à Michel Lafond décédé le Mardi 02 septembre 2020 .

Michel était un amis, professeur de Mathématiques agrégé à Dijon, auteur de plusieurs

livres de Maths et de nombreuses publications ( articles, énoncés et solutions de problèmes,… )

dans la revue de l’APMEP ( Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public ).

Il m’a beaucoup aidé et transmis sa passion .Merci encore à lui .