a = 2( x² + xy – y² + z )
b = ( x² – 4xy – y² )² + 5xy + z
c = ( x² – 4xy – y² )² + 2x² – 3xy – 2y² + z
n = ( x² – 4xy – y² )² + 5( x² + xy – y² + z )
Lorsque y² = x² + xy – 1 + z et si z = k² – k alors y² = x² + xy – 1 – k + k²
si z = – k² + k + 2 alors y² = x² + xy + 1 + k – k²
On retrouve la formule proposée par Michel Lafond dans l’identité du mois
d’août 2020 .
k = 2 ; z = 2 ; x = 1 et y = 2 alors a = 2 ; b = 133 ; c = 111 ; n = 126
k = 2 ; z = 0 ; x = 2 et y = 3 alors a = 2 ; b = 871 ; c = 813 ; n = 846
k = 3 ; z = 6 ; x = 1 et y = 3 alors a = 2 ; b = 421 ; c = 381 ; n = 405
k = 3 ; z = – 4 ; x = 3 et y = 4 alors a = 2 ; b = 3081 ; c = 2971 ; n = 3030
k = 4 ; z = 12 ; x = 1 et y = 4 alors a = 2 ; b = 993 ; c = 931 ; n = 966
k = 4 ; z = – 10 ; x = 4 et y = 5 alors a = 2 ; b = 8011 ; c = 7833 ; n = 7926
etc, …
On note que »a » est toujours égal à 2 , d’autre part ( n – 5 ) est toujours
un carré parfait ( n – 5 ) = p² avec p = x² – 4xy – y² et en donnant une
valeur à »k » on a 2 solutions entière à cette équation.
généralisation
a = 2( x² + xy – y² + z )
b = ( x² – xyt – y² )² + xy( 1 + t ) + z
c = ( x² – xyt – y² )² + 2x² + xy( 1 – t ) – 2y² + z
n = ( x² – xyt – y² )² + 5( x² + xy – y² + z )
Lorsque y² = x² + xy – 1 + z et si z = k² – k alors y² = x² + xy – 1 – k + k²
si z = – k² + k + 2 alors y² = x² + xy + 1 + k – k²
exemple k = 2 et z = 2 ; x = 1 et y = 2 alors
a = 2 ; b = ( – 3 – 2t )² + 2t + 4 ; c = ( – 3 – 2t )² – 2 – 2t ; n = ( – 3 – 2t )² + 5
avec k = 2 et z = 0 ; x = 2 et y = 3 alors
a = 2 ; b = ( – 5 – 6t )² + 6t + 6 ; c = ( – 5 – 6t )² – 4 – 6t ; n = ( – 5 – 6t )² + 5 .
Je viens d’apprendre une triste nouvelle .
Je voudrais rendre hommage à Michel Lafond décédé le Mardi 02 septembre 2020 .
Michel était un amis, professeur de Mathématiques agrégé à Dijon, auteur de plusieurs
livres de Maths et de nombreuses publications ( articles, énoncés et solutions de problèmes,… )
dans la revue de l’APMEP ( Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public ).
Il m’a beaucoup aidé et transmis sa passion .Merci encore à lui .
