vincent-thill.fr

2020. Nouvelle année, nouveau nombre et c’est bien connu chaque nombre a au moins une particularité, car si un nombre n’en avait pas, il se distinguerait par rapport aux autres .

Par exemple 2020 peut se mettre sous la forme d’une somme de 8 nombres consécutifs .

249 + 250 +251 + 252 + 253 + 254 + 255 +256 = 2020 .

Par ailleurs la somme de 8 nombres consécutifs quelconques élevée au carré additionnée du produit de ces 8 nombres donne toujours un carré .

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7) = (8n+28)  et (8n+28)² + n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7) =

Voir la suite n°A239035  postée par Michel Marcus sur le site http://oeis.org

Selon Michel Lafond la propriété pour 8 nombres consécutifs de donner  s^2+p=carré  semble miraculeuse,

puisque ça ne se produit pas pour k nombres consécutifs ( k différent de 8 ), vérification faite jusqu’à k=32…

Bien sûr, il reste les cas particuliers qui sont probablement en nombres infinis mais plutôt rares :

(8+9)² +(8)(9) =(19)²

(23+24+25+26+27)² + (23)(24)(25)(26)(27) = (3115)²

(6+7+8+9+10+11)² + (6)(7)(8)(9)(10)(11) = (579)² .

…

Il s’agit donc d’un problème court apparenté à un problème ouvert .

Néanmoins cette propriété se retrouve dans d’autres cas, exemple avec la somme de 4 nombres pairs consécutifs ou 4 nombres impairs consécutifs :

n+(n+2)+(n+4)+(n+6)=(4n+12)  et

(4n+12)² + n(n+2)(n+4)(n+6) = (n² + 6n + 12)² .

(n+1) + (n+3) + (n+5) + (n+7) = (4n+16)  et

(4n+16)² + (n+1)(n+3)(n+5)(n+7) = (n² + 8n + 19)² .

Revenons au produit de 8 nombres consécutifs . Celui-ci est égal à  1+(ab)²-a²-b² quelque soit  »n ».

n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7) + (n² + 3n + 1)² + (n² + 11n + 29)² =

[(n² + 3n + 1)(n² + 11n + 29)]² + 1 .

Projetons nous cette fois-ci dans le futur et si on rajoutait un 0 à 2020 de cette façon 20020,

on s’aperçoit que c’est également une somme de 8 nombres consécutifs :

2499 + 2500 + 2501 + 2502 + 2503 + 2504 + 2505 + 2506 = 20020 .

Et d’une façon générale :

.