identité du mois de juin 2019

Posté le : samedi 1 juin 2019 par Vincent Thill

a=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\   ;   b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\

c=\frac{47-21\sqrt{5}}{5}\\   ;   d=\frac{47+21\sqrt{5}}{5}\\

x=\frac{38-17\sqrt{5}}{5}\\   ;   y=\frac{38+17\sqrt{5}}{5}\\

z=\frac{29-13\sqrt{5}}{10}\\   ;   t=\frac{29+13\sqrt{5}}{10}\\

Avec ces éléments on a l’égalité suivante :

[ca^k+db^k-xa^k-yb^k-(8/5)]^{2n} + [ca^k+db^k-za^k-tb^k]^{2n} + [xa^k+yb^k-za^k-tb^k+(8/5)]^{2n} = 2[ca^{(k-2)}+db^{(k-2)}+(1/5)]^n[ca^{(k+1)}+db^{(k+1)}-(1/5)]^n

Pour  n = 1  ou  n = 2    et  k  entier > 0

En conservant la même notation on remarque ceci :

[89\sqrt{5}\(b^k-a^k) + 199(a^k+b^k)+2(-1)^k]/(10) = p

Pour   k  entier > – 6  on a  p  qui prend les valeurs suivantes :

( 0, 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, 714, 1870, 4895, 12816, … )

et la différence entre 2 termes consécutifs de cette suite donne la suite de Fibonacci au carré,

exemple : ( 40 – 15 = 5² ; 104 – 40  = 8² ; 273 – 104 = 13² ; 714 – 273 = 21²  … )

Rappel suite de Fibonacci :

( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …)

Autre remarque :

72\sqrt{5}\(b^k-a^k) + 161(a^k +b^k)+2(-1)^k = q²

Pour  k  entier > – 6  on a  q  qui prend les valeurs de la suite définie par

F_0 = 1 ; F _1 = 3  et si  n >1  alors F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

On obtient alors la suite de Lucas :

( 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, … )

D’autre part on pose \phi\ le nombre d’or = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\

et  \phi-1\ = \gamma\

alors  a = \gamma^2\ et b = \phi^2\, l’expression qui donne p peut s’écrire

[ \phi^{(2k+11)}\\gamma^{(2k+11)}\ + (-1)^k ] /( 5 ) = p

et l’expression qui donne la suite de Lucas peut s’écrire

[ \phi^{(2k)}\ ][ 2\phi^{(11)}\ - \phi^9\ ] – [ \gamma^{(2k)}\ ][ 2\gamma^{(11)}\ - \gamma^9\ ] + 2(-1)^k = q²

 

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