identité du mois de mai 2019

Posté le : mercredi 1 mai 2019 par Vincent Thill

Plusieurs exemples de ( 3, 3 ) à la puissance 4 avec une constante .

(18)^4+(3b-b^2+9)^4+(9-3b+b^2)^4=(6b-9)^4+(18-b^2)^4+(6b+9-b^2)^4 (6)^4+(8+13b)^4+(2+13b)^4=(8+7b)^4+(6+15b)^4+(2-8b)^4 (24)^4+(36-7c)^4+(7c-12)^4=(24-8c)^4+(36-5c)^4+(12+3c)^4

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(30-3a)^4+[51+3a-(17+a)b+3b^2]^4+[21+6a-(17+a)b+3b^2]^4= [21+6a-(26+a)b+3b^2]^4+(51+3a-18b)^4+(30-3a+(8+a)b-3b^2]^4

Il suffit alors de donner une valeur à  »a », exemple  a = 2

(24)^4+(57-19b+3b^2)^4+(33-19b+3b^2)^4= (33-28b+3b^2)^4+(57-18b)^4+(24+10b-3b^2)^4

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(a^3)^4+(3ba^2+a^3+b^3+2ab^2)^4+(3ba^2+2a^3+b^3+2ab^2)^4= [(a+b)^3]^4+(ab^2+b^3-a^3)^4+(3ba^2+2a^3+2ab^2)^4

Donner une valeur à  »a »

(3ca^2+36ab-27c-9ac+ca^3)^4+(6ca^2-27c+108b+9ac)^4+ (108b-36ab+18ac+3ca^2-ca^3)^4= (27c+36ab+ca^3)^4+(36ab-108b+27c+ca^3)^4+(108b)^4

Donner une valeur à  »b »

(c^3-ac+c)^4+(2c^3+b+cb^2+ca-2bc^2-c-ab)^4+ (2ca-ab+c^3-2bc^2+cb^2-2c+b)^4= (c^3+b+cb^2+2ca-3bc^2-2c-ab)^4+(2c^3+ca-2bc^2-c)^4 +(c^3-b-cb^2-ca+bc^2+c+ab)^4

Donner une valeur à  »a » et  »c »

[c^3+d(c-ac)]^4+[2c^3+cb^2+2bc^2+d(c-ac)+d(b-ab)]^4+ [c^3+cb^2+2bc^2+d(b-ab)]^4= [c^3+cb^2+3bc^2+d(c-ac)+d(b-ab)]^4+[2c^3+2bc^2+d(c-ac)]^4+ [c^3-cb^2-bc^2-d(b-ab)]^4

Donner une valeur à  »a » ,  »c » et  »d »

(21+3a-3cd)^4+[48+3a+b(16+a)+3b^2-c(3d+db)]^4+ [27+b(16+a)+3b^2-cbd]^4= [21+3a+b(25+a)+3b^2-c(3d+db)]^4+(48+3a+18b-3cd)^4 [27-b(a+7)-3b^2+cbd]^4

Donner une valeur à  »a » ,  »c » et  »d »

Remarque : Toutes ces équations sont du type :

A^4+B^4+C^4=X^4+Y^4+Z^4  avec A + B = C  et  X + Y = Z

Voici d’autres ( 3, 3 ) à la puissance 4 qui n’ont pas cette propriété

(4082-2t^4)^4+(32639+t^4)^4+(4080)^4=(4078+2t^4)^4+(32641-t^4)^4+(4080t)^4

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[4(x^5)(32)^n-5x(1250)^n]^4+[4(x^4)(80)^n+(3125)^n]^4+[6(x^4)(80)^n-3(3125)^n]^4= [4(x^5)(32)^n+x(1250)^n]^4+[2(x^4)(80)^n-(3125)^n]^4+[3(3125)^n]^4

avec   »n »  entier quelconque

Remarque : Si on pose n =0 , on retrouve le paramétrage de RAMANUJAN

(4x^5-5x)^4+(4x^4+1)^4+(6x^4-3)^4=(4x^5+x)^4+(2x^4-1)^4+(3)^4.

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