identité du mois de février 2019

Posté le : vendredi 1 février 2019 par Vincent Thill

Plusieurs paramétrages de X^4+Y^4+Z^4=T^2

[a^4(a+1)^4-a^4(2a+1)^2+(2a+1)^2(a+1)^4]^4 +

[2a(2a+1)(a+1)]^4[(a+1)^4-(2a+1)a^2]^4 +

(2a+1)^2[2a^2(a+1)]^4[(a+1)^4-(2a+1)a^2]^4 = b^2

 » a  » prend donc successivement les valeurs : ( 4, 12, 24, 40, 60, 84, … ),    exemple  a = 4

(189889)^4+(173160)^4+(230880)^4=(70997992321)^2     » a  » peut-être négatif exemple a = – 5

(130111)^4+(173160)^4+(288600)^4=(90126952321)^2  autre exemple numérique

(114840)^4+(173160)^4+(153439)^4=(40339686721)^2 avec   a  = 4 dans le paramétrage suivant :

[2a(2a+1)(a+1)(a^2+3a+1)(a^2-a-1)]^4 +

[(a^2+3a+1)(a^2-a-1)]^4[(a+1)^4-a^2(2a+1)]^4 +

[2a(2a+1)(a+1)]^4[(a+1)^4-a^2(2a+1)]^4 = k²

Au regard de ces 3 exemples on obtient le système suivant :

x^4+y^4+z^4=A^2;x^4+u^4+v^4=B^2;x^4+t^4+w^4=C^2  paramétré comme ceci :

 

x=8c^2(c^4-1)(c^4-2c^3+2c^2+2c+1)(c^4+2c^3+2c^2-2c+1)

 

y=1-4c^{(12)}+c^{(16)}+6c^8-4c^4+128c^{(10)}+128c^6

 

z=4c(c^2-1)(c^4-1)(c^4-2c^3+2c^2+2c+1)(c^4+2c^3+2c^2-2c+1)

 

u=8c^2(c^4-1)(c^4+4c^2-1)(c^4-4c^2-1)

 

v=(c^4+4c^2-1)(c^4-4c^2-1)(c^4-2c^3+2c^2+2c+1)(c^4+2c^3+2c^2-2c+1)

 

t=1-4c^{(12)}+c^{(16)}+6c^8-4c^4-128c^{(10)}-128c^6

 

w=4c(c^2+1)(c^4-1)(c^4-2c^3+2c^2+2c+1)(c^4+2c^3+2c^2-2c+1)

 

Remarque :(xw)^4+(wz)^4+(zx)^4=d^2

exemple avec  c = 2  on obtient le système suivant :

(230880)^4+(189889)^4+(173160)^4=(70997992321)^2 (230880)^4+(14880)^4+(14911)^4=(53306497921)^2 (230880)^4+(88639)^4+(288600)^4=(99198952321)^2

Toujours dans le même système voici un autre exemple :

(288600)^4+(111000)^4+(120250)^4=(85429022500)^2 (288600)^4+(266400)^4+(692640)^4=(492071169600)^2 (288600)^4+(312650)^4+(750360)^4=(577500192100)^2

avec  85429022500 + 492071169600 = 577500192100

Cette somme peut s’expliquer par ce paramétrage :

p = 2mn( m² + n² )  ;  q = ( m² + n² )( m² – n² )  ;  r = 2mn( m² – n² )

g=[(2mn)q]^4+[q(m^2-n^2)]^4+[r(m^2-n^2)]^4=e^2 h=[(2mn)q]^4+[p(2mn)]^4+[r(2mn)]^4=f^2 i=[(2mn)q]^4+[q(m^2+n^2)]^4+[p(m^2+n^2)]^4=s^2

avec    e + f = s

[(a^4)(2a^2+2a+1)^2-a^4(a+1)^4+(2a^2+2a+1)^2(a+1)^4]^4 +

(2a^2+2a+1)^2[(2a^3+2a^2)(3a^2+3a+1)(a^2+a+1)]^4 +

(2a^2+2a+1)^2[2a(3a^2+3a+1)(a^2+a+1)(a+1)^2]^4=b^2

exemple  a = 20

(219600716161)^4+(258645223200)^4+(271577484360)^4 =

( 110637049741582411057921 )²

Pour avoir des solutions entières à l’équation    2a² + 2a + 1 = c²

Il faut poser    2a² + 2a + 1 = ( b² + 1 )/( 2 )   d’où l’équation de Pell-Fermat    b² = 2c² – 1 .

Tags:

Les commentaires sont fermés