identité du mois de juin 2018

Posté le : vendredi 1 juin 2018 par Vincent Thill

Soit  A^n+B^n+C^n+D^n=X^n+Y^n+Z^n    avec  n = 1, 2 ou 4

exemple:  1^n+5^n+16^n+18^n=7^n+14^n+19^n

ALGORITHME

(-A)^n+(C)^n+(C+Y+f^2)^n+(2C+D)^n=(Y)^n+(C+Y+f^2+2A)^n+(2C+D-A)^n

où f représente la suite de Fibonacci à partir de f = 3 et pour n = 1, 2, 4

(-1)^n+16^n+39^n+50^n=14^n+41^n+49^n        avec  f = 3

1^n+39^n+105^n+128^n=41^n+103^n+129^n    avec  f = 5

(-1)^n+105^n+272^n+338^n=103^n+274^n+337^n    avec  f = 8

1^n+272^n+715^n+882^n=274^n+713^n+883^n    avec  f = 13

(-1)^n +715^n+1869^n+2312^n=713^n+1871^n+2311^n    avec  f = 21

1^n+1869^n+4896^n+6050^n=1871^n+4894^n+6051^n    avec  f = 34

(-1)^n+4896^n+12815^n+15842^n=4894^n+12817^n+15841^n  avec  f = 55

1^n+12815^n+33553^n+41472^n=12817^n+33551^n+41473^n    avec  f = 89

Voici la démonstration de Michel LAFOND:

Si on pose  t_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\  et  t_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\

Et pour tout entier k, même négatif :

x_k=(\frac{29-13\sqrt{5}}{10})(t_1^k)\ + (\frac{29+13\sqrt{5}}{10}(t_2^k)\(\frac{4}{5})(-1)^k\

y_k=(\frac{38-17\sqrt{5}}{5})(t_1^k)\ + (\frac{38+17\sqrt{5}}{5}(t_2^k)\ +    (\frac{4}{5})(-1)^k\

z_k=(\frac{47-21\sqrt{5}}{5})(t_1^k)\ + (\frac{47+21\sqrt{5}}{5}(t_2^k)\   (\frac{4}{5})(-1)^k\

u_k=x_k+2(-1)^k  et  v_k=y_k-2(-1)^k  et  w_k=z_k+(-1)^k

Alors on a le Théorème . Pour n = 1, 2, ou 4

[(-1)^k]^n + x_k^n + y_k^n + z_k^n = u_k^n + v_k^n + w_k^n

exemples :

k = -1

-1+3+5+8=1+7+7=15 (-1)^2+3^2+5^2+8^2=1^2+7^2+7^2=99 (-1)^4+3^4+5^4+8^4=1^4+7^4+7^4=4803

k = 0

1+5+16+18=7+14+19=40 1^2+5^2+16^2+18^2=7^2+14^2+19^2=606 1^4+5^4+16^4+18^4=7^4+14^4+19^4=171138

k = 1

-1+16+39+50=14+41+49=104 (-1)^2+16^2+39^2+50^2=14^2+41^2+49^2=4278 (-1)^4+16^4+39^4+50^4=14^4+41^4+49^4=8628978

k = 2

1+39+105+128=41+103+129=273 1^2+39^2+105^2+128^2=41^2+103^2+129^2=28931

1^4+39^4+105^4+128^4=41^4+103^4+129^4=392299523 .

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