identité du mois de Mai 2018

Posté le : mardi 1 mai 2018 par Vincent Thill
[p(1+q)]^4+[p(1-q)]^4+(1-p^2)^4=[(p^2+1)(3p^2-1)]^2

Lorsque    q² = 2p² – 1    exemple avec  p = 5  et  q = 7

(-12)^4+(-15)^4+(20)^4=(481)^2

généralisation :

[1-(2yp-xq)^2]^4+[(2yp-xq)(1-4xp+yq)]^4+[(2yp-xq)(1+4xp-yq)]^4=[(2yp-xq)^2+1]^2[3(2yp-xq)^2-1]^2

avec    y² = 2x² – 1    alors    q² = 8p² + 1    exemple  x = 5  et  y = 7  ;  p = 35  et  q = 99

(-12)^4+(15)^4+(-20)^4=(481)^2

couples  ( x, y )      ( 5, 7 ), ( 29, 41 ), ( 169, 239 ) …

couples  ( p, q )      ( 6, 17 ), ( 35, 99 ), ( 204, 577 ) …

Remarque : Pour trouver d’autres solutions à  q² = 8p² + 1  on peut utiliser les algorithmes suivants :

Toutes les solutions de  q² = 8p² + 1  sont également solutions de

( 8p + 3q )² = 8( 3p + q )² + 1

Toutes les solutions de  q² = 8p² + 1  sont également solutions de

( 48p + 17q )² = 8( 17p +6q )² + 1  .

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