identité du mois d’avril 2017

Posté le : dimanche 2 avril 2017 par Vincent Thill

Comme le mois précédent, nous allons résoudre l’équation de Markov :

x² + y² + z² = 3xyz,  avec des solutions entières .

En posant  y = ( 3x + t )/( 2 )    et    z = 3x[( 3x + t )/( 2 )] – 1 ,

on arrive à l’équation de Pell   t² = 5x² – 4 .

On passe d’un couple solution de cette équation à un autre couple solution en

remplaçant  t  par  ( 5x + 3t )/( 2 )  et  x  par  ( 3x + t )/( 2 ) .On obtient ainsi

successivement les couples ( x, t ) de solutions de l’équation de Pell :

( 1, 1 ), ( 2, 4 ), ( 5, 11 ), ( 13, 29 ),( 34, 76 ), etc …

Ceci correspond donc aux triplets de Markov ( x, y, z ) suivants :

( 2, 5, 29 ),( 5, 13, 194 ),( 13, 34, 1325 ),( 34, 89, 9077 ),( 89, 233, 62210 ),etc …

Pour rappel, le mois précédent on avait utilisé l’équation de Pell  t² = 2x² – 1

pour résoudre l’équation de Markov . Le lien entre ces 2 équations de Pell

peut être établit comme ceci :

Toutes les solutions de  zx² – 4 = t²  sont également solutions de :

[ t( t² + 3 )]² =  zx²( zx² – 3 )² – 4

exemple avec  z = 5  où les solutions de  5x² – 4 = t²  sont données

par la suite de Fibonacci alternée ( 1, 2, 5, 13, 34, 89 etc … ) .

En posant  z = 2,  x = 2X  et  t = 2T    l’algorithme devient :

Toutes les solutions de   2( X )² – 1 = ( T )²   sont également solutions de :

[ T( 4T² + 3 )]² =  2X²( 8X² – 3 )² – 1

 

Tags:

Les commentaires sont fermés