identité du mois de mars 2017

Posté le : samedi 4 mars 2017 par Vincent Thill

Extrait d’un article sur le calcul formel, publié dans la revue Tangente éducation n° 24 .

Soit l’équation de Markov   a² + b² + c² = 3abc, dont on cherche des solutions entières .

En posant  b = 3a + 2d  et  c = 3a( 3a + 2d ) – 2,  on arrive à l’équation

de Pell-Fermat  d² = 2a² – 1 .

On passe d’un couple solution de cette équation à un autre couple solution en remplaçant

d par 4a + 3d  et  a par 3a + 2d .On obtient ainsi successivement les couples ( a, d )

de solutions de l’équation de Pell-Fermat :

( 1, 1 ), ( 5, 7 ), ( 29, 41 ), ( 169, 239 ), ( 985, 1393 ), etc .

Ceci correspond donc aux triplets de Markov ( a, b, c ) suivants :

( 1, 5, 13 ), ( 5, 29, 433 ), ( 29, 169, 14701 ), ( 169, 985, 499393 ), etc  .

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