identité du mois de novembre 2016

Posté le : mardi 1 novembre 2016 par Vincent Thill

On appelle  » triade  » un système de triplets pythagoriciens

qui vérifient les égalités suivantes :

x² + y² = u²    ;    x² + z² = v²    ;    y² + z² = w²

( xz )² + ( xy )² = ( xw )²;           En posant  A = xz ; B = xy ; C = x² ; D = yz

( xz )² + ( x² )² = ( xv )²;            A² + B² ; A² + C² ; A² + D² ; B² + C² ; B² + D²

( xz )² + ( yz )² = ( zu )²;             sont tous des carrés .

( xy )² + ( yz )² = ( yv )² ;          On a donc une triade double

( xy )² + ( x² )² = ( xu )²;           ( A,B,C )  et  ( A,B,D )

exemple x = 85 ; y = 132 ; z = 720 ; u = 157 ; v = 725 ; w = 732

A = 61200  ;  B = 11220  ;  C = 7225  ;  D = 95040

Voici comment paramétrer une triade double :

On part de 2 triades  ( a,b,c )  et ( x,y,z )  avec  t² = u² + v²

a = 4tuv                               a² + b² = [ u( 5v² + u² )]²

b = u( u² – 3v² )                a² + c² = [ v( 5u² + v² )]²

c = v( v² – 3u² )                 b² + c² = ( u² + v² ) ( u² + v² )²

 

x = ( u² – 3v² )( v² – 3u² )          x² + y² = [( v² + 5u² )( u² – 3v² )]²

y = 4ut( u² – 3v² )                         x² + z² = [( 5v² + u² )( 3u² – v² )]²

z = 4vt( v² – 3u² )                          y² + z² = [ 4( u² + v² )²]²

En combinant les 2 triades,  il faut multiplier a,b,c par ( u² – 3v² ) et il faut

multiplier  x,y,z  par ( v ) pour obtenir a = y et c = x

on peut résoudre le système suivant ( triade double ) avec  t² = u² + v²

A = 4tuv( u² – 3v² )                                  A² + B² = [ v( 5u² + v² )( u² – 3v² )]²

B = v( u² – 3v² )( v² – 3u² )                    A² + C² = [ 4v( u² + v² )² ]²

C = 4tv²( v² – 3 u² )                                  A² + D² = [ u( 5v² + u² )( u² – 3v² )]²

D = u( u² – 3v² )²                                          B² + C² = [ v( 5v² + u² )( 3u² – v² )]²

____________________________ B² + D² = [( u² – 3v² )( t )( t² )]²

exemple avec   u = 3  ;  v = 4  ;  t = 5

A = -9360  ;  B 1716  ;  C = -3520  ;  D = 4563

A² + B² = ( 9516 )² ; A² + C² = ( 10000 )² ; A² + D² = ( 10413 )² ; B² + C² = ( 3916 )²; B² + D² = ( 4875 )²

Autre exemple de paramétrage d’une triade double avec  t² = u² + v²

A = 4vt( v² – 3u² )                                   A² + B² = ( t²4t² )²

B = 4ut( u² – 3v² )                                    A² + C² = ( u² + 5v² )²( v² – 3u² )²

C = ( u² – 3v² )( v² – 3u² )                     A² + D² = ( 4vt )²( v² + 5u² )²

D = 16uvt²                                                  B² + C² = ( 3v² – u² )² ( v² + 5u² )²

__________________________  B² + D² = ( 4tu )²( u² + 5v² )²

exemple avec  u = 3  ;  v = 4  ;  t = 5

A = -880  ;  B = -2340  ;  C = 429  ;  D = 4800

En combinant cette triade double avec la précédente, on obtient un système de

3 triades doubles .

A = 4tv²( v² – 3u² )                                 A² + B² = ( 4t²vt² )²

B = 4uvt( u² – 3v² )                                 A² + C² = v²( 5v² + u² )²( 3u² – v² )²

C = v( u² – 3v² )( v² – 3u² )                   A² + D² = ( 4tv² )²( 5u² + v² )²

D = 16u( vt )²                                            B² + C² = v²( v² + 5u² )²( u² – 3 v² )²

E = u( u² – 3v² )²                                      B² + D² = ( 4uvt )²( 5v² + u² )²

__________________________  B² + E² = u²( 5v² + u² )²( u² – 3v² )²

__________________________  C² + E² = t²( u² – 3v² )²(t²)(t²)

Les triades sont les suivantes :  ( A,B,C )  ;  ( A,B,D )  ;  ( B,C,E )

exemple  u = 3  ;  v = 4  ;  t = 5

A = -3520  ;  B = -9360  ;  C = 1716  ;  D = 19200  ;  E = 4563

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