identité du mois d’octobre 2016

Posté le : dimanche 2 octobre 2016 par Vincent Thill

étude du paramétrage de Peter  BORWEIN

a=4yx^4+2x^2y^3-x^5-4y^2x^3+xy^4-y^5

 

b=3x^2y^3-xy^4+x^5-3yx^4

 

c=yx^4-y^2x^3-3x^2y^3+2xy^4

 

d=-2x^2y^3-2xy^4+y^5+5y^2x^3-2yx^4

 

e=3yx^4-y^2x^3-x^2y^3+y^5-x^5-xy^4

 

f=-y^5+2xy^4+x^2y^3-4y^2x^3+yx^4

 

g=-xy^4+5y^2x^3-4yx^4+x^5

 

a^n+b^n+c^n+d^n+e^n+f^n+g^n=0      pour  n = ( 1, 3, 5 )  et    x  et  y  quelconques .

 

On note une symétrie interne car les couples ( x, y )  et  [( x – y ), x ] donnent les mêmes solutions en valeur absolue .

De même, si on note  X0 et Y0 la première solution et [( X0 – Y0 ), X0 ] = X1  et  Y1

la deuxième solution, [( X1 – Y1 ), X1 ] = X2  et  Y2  la solution suivante, etc…On peut constituer un

cycle de  6  qui permet de revenir sur la forme d’origine . Exemple:

_______________   a              b            c            d            e                 f                 g

Y0 = 3  et  X0 = 5     1387      -880        -465        -42          538         -1383       845

Y1 = 5  et  X1 = 2      -1387        42         880           465        1383      -845      -538

Y2 = 2  et  X2 = -3      1387         -465     -42          -880       845         538         -1383

Y3 = -3  et  X3 = -5    -1387       880        465          42          -538        1383        -845

Y4 = -5  et  X4 =-2      1387        -42         -880        -465      -1383       845          538

Y5 = -2  et  X5 = 3      -1387       465          42            880       -845        -538        1383

Y6 =  3  et  X6 = 5       1387        -880       -465         -42          538         -1383       845

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