identité du mois d’août 2016

Posté le : mardi 2 août 2016 par Vincent Thill
[(a^2-1)a^3+2a(a^2+b^2)]^2+[(a^2-1)(a^2-b^2)]^2=[(a^2-1)b^2-2(a^2+b^2)a^2]^2

lorsque  a²(a² + 1) = 2b²

Ce qui est en fait la forme d’un nombre triangulaire,

car un nombre triangulaire s’écrit    q(q+1) = 2p       avec  p et q entiers

ici    p= b²    et   q = a²

exemple    q = 49    et  p = 1225 = (35)².

remarque:  Pour trouver les solutions de    a²(a²+1) = 2b²

On utilise l’équation de PELL  :  a² = 2c² – 1

d’où   b = ac,    exemple  c = 5  et  a = 7

De même

[(a^2-1)a^3+2a(a^2+b)]^2+[(a^2-1)(a^2-b)]^2=[(a^2-1)b-2(a^2+b)a^2]^2

Lorsque  a²(a²+1)=2b

Et on a la relation suivante:

a²(a²+1)/2  = [a(a+1)/2]²+[a(a-1)/2]² =

\sum_{k=1}^{a}k^3\ + \sum_{k=1}^{a-1}k^3\

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